Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a equação . Esse tipo de equação é chamada de equação transcendental, porque mistura funções algébricas (como o ) com funções exponenciais. Para resolver, vamos usar um método numérico, ou seja, uma técnica que nos aproxima da solução passo a passo. Precisamos de alguma forma de calcular e de seguir um processo iterativo para chegar a uma raiz com erro menor que .

Passo 2

Vamos usar o Método de Newton-Raphson, que é super eficiente para encontrar raízes de equações. Esse método começa com uma estimativa inicial da raiz e vai refinando essa estimativa até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que o erro que a gente definiu ( ).
A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
Onde:
  • (reorganizamos a equação para igualar a zero)
  • é a derivada de em relação a .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular e sua derivada :
Derivando :

Passo 4

Agora, vamos escolher uma estimativa inicial para . Olhando para a equação , percebemos que para :
Vamos tentar :
Muito longe! Vamos tentar :
Parece que precisamos de uma estimativa mais próxima. Vamos tentar :
Ainda assim, vamos começar com e ver como o método se comporta.

Passo 5

Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
Para :

Passo 6

Vamos repetir o processo com :

Passo 7

Continuando com :

Passo 8

Agora com :

Passo 9

Mais uma iteração com :

Passo 10

Vamos verificar a diferença entre e :
Como a diferença é menor que , paramos por aqui.

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é aproximadamente .

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