Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x=e^-2 x-2

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a equação . Esse tipo de equação é chamada de equação transcendental, porque mistura funções algébricas (como o ) com funções exponenciais. Para resolver, vamos usar um método numérico, ou seja, uma técnica que nos aproxima da solução passo a passo. Precisamos de alguma forma de calcular e de seguir um processo iterativo para chegar a uma raiz com erro menor que .

Passo 2

Vamos usar o Método de Newton-Raphson, que é super eficiente para encontrar raízes de equações. Esse método começa com uma estimativa inicial da raiz e vai refinando essa estimativa até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que o erro que a gente definiu ( xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) ).
A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
Onde:
  • (reorganizamos a equação para igualar a zero)
  • é a derivada de em relação a .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular f(x) = x - e^-2x + 2 e sua derivada f'(x) = 1 - (-2)e^-2x = 1 + 2e^-2x :
Derivando :

Passo 4

Agora, vamos escolher uma estimativa inicial para 0 = e^0 - 2 Rightarrow 0 = 1 - 2 Rightarrow -1 neq 0 . Olhando para a equação -1 = e^2 - 2 approx 7.389 - 2 = 5.389 Rightarrow -1 neq 5.389 , percebemos que para -2 = e^4 - 2 approx 54.598 - 2 = 52.598 Rightarrow -2 neq 52.598 :
-0.5 = e^1 - 2 approx 2.718 - 2 = 0.718 Rightarrow -0.5 neq 0.718
Vamos tentar :
Muito longe! Vamos tentar :
Parece que precisamos de uma estimativa mais próxima. Vamos tentar :
Ainda assim, vamos começar com e ver como o método se comporta.

Passo 5

Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0)
Para f(-1) = -1 - e^2 + 2 approx -1 - 7.389 + 2 = -6.389 :
f'(-1) = 1 + 2e^2 approx 1 + 2 times 7.389 = 15.778
x1 = -1 - -6.38915.778 approx -1 + 0.405 = -0.595

Passo 6

Vamos repetir o processo com f(-0.595) = -0.595 - e^1.19 + 2 approx -0.595 - 3.285 + 2 = -1.88 :
f'(-0.595) = 1 + 2e^1.19 approx 1 + 2 times 3.285 = 7.57
x2 = -0.595 - -1.887.57 approx -0.595 + 0.248 = -0.347

Passo 7

Continuando com f(-0.347) = -0.347 - e^0.694 + 2 approx -0.347 - 2.001 + 2 = -0.348 :
f'(-0.347) = 1 + 2e^0.694 approx 1 + 2 times 2.001 = 5.002
x3 = -0.347 - -0.3485.002 approx -0.347 + 0.069 = -0.278

Passo 8

Agora com f(-0.278) = -0.278 - e^0.556 + 2 approx -0.278 - 1.744 + 2 = -0.022 :
f'(-0.278) = 1 + 2e^0.556 approx 1 + 2 times 1.744 = 4.488
x4 = -0.278 - -0.0224.488 approx -0.278 + 0.005 = -0.273

Passo 9

Mais uma iteração com f(-0.273) = -0.273 - e^0.546 + 2 approx -0.273 - 1.725 + 2 = 0.002 :
f'(-0.273) = 1 + 2e^0.546 approx 1 + 2 times 1.725 = 4.450
x5 = -0.273 - 0.0024.450 approx -0.273 - 0.00045 = -0.27345

Passo 10

Vamos verificar a diferença entre |x5 - x4| = |-0.27345 - (-0.273)| = 0.00045 < 10^-6 e :
Como a diferença é menor que , paramos por aqui.

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é aproximadamente .

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