Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a equação
. Esse tipo de equação é chamada de equação transcendental, porque mistura funções algébricas (como o
) com funções exponenciais. Para resolver, vamos usar um método numérico, ou seja, uma técnica que nos aproxima da solução passo a passo. Precisamos de alguma forma de calcular
e de seguir um processo iterativo para chegar a uma raiz com erro menor que
.
Passo 2
Vamos usar o Método de Newton-Raphson, que é super eficiente para encontrar raízes de equações. Esse método começa com uma estimativa inicial da raiz e vai refinando essa estimativa até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que o erro que a gente definiu (
).
A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
Onde:
-
(reorganizamos a equação para igualar a zero) -
é a derivada de em relação a .
Passo 3
Primeiro, vamos calcular
e sua derivada
:
Derivando
:
Passo 4
Agora, vamos escolher uma estimativa inicial para
. Olhando para a equação
, percebemos que para
:
Vamos tentar
:
Muito longe! Vamos tentar
:
Parece que precisamos de uma estimativa mais próxima. Vamos tentar
:
Ainda assim, vamos começar com
e ver como o método se comporta.
Passo 5
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
Para
:
Passo 6
Vamos repetir o processo com
:
Passo 7
Continuando com
:
Passo 8
Agora com
:
Passo 9
Mais uma iteração com
:
Passo 10
Vamos verificar a diferença entre
e
:
Como a diferença é menor que
, paramos por aqui.
Resposta
A raiz da equação
com erro menor que
é aproximadamente
.
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Equação:
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Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
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