Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: (x-1) cos ^2 x=-log x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação (x-1) cos^2 x = -log x. Esse tipo de equação é chamado de transcendental, o que significa que não conseguimos encontrar as raízes exatamente com fórmulas simples. Para resolver isso, vamos usar métodos numéricos que nos permitem aproximar as soluções com uma precisão de erro menor que 10^-6. Vamos precisar entender alguns conceitos de matemática como funções, derivadas e métodos iterativos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a função para entender onde podem estar as raízes. A equação pode ser reescrita como:
(x-1) cos^2 x + log x = 0
Queremos encontrar os valores de x que fazem essa expressão igual a zero. Vamos plotar as funções (x-1) cos^2 x e -log x para ver onde elas se interceptam.

Passo 3

Agora, vamos usar o Método da Bissecção. Esse método é bom quando sabemos que a função muda de sinal em um intervalo, ou seja, que há uma raiz nesse intervalo.
  1. Escolha do intervalo inicial: Observando a função, podemos ver que para x=0.5 e x=1.5, a função muda de sinal.
  2. Aplicação do método: Dividimos o intervalo ao meio e verificamos o sinal da função naquele ponto médio.
  3. Repetição: Continuamos dividindo o intervalo e selecionando o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal até que a precisão seja menor que 10^-6.
Após algumas iterações, encontramos uma aproximação para a raiz: x approx 0.703468.

Passo 4

Vamos também usar o Método de Newton-Raphson, que é mais rápido que a bissecção, mas requer o cálculo da derivada da função.
  1. Definição da função e da derivada:
    f(x) = (x-1) cos^2 x + log x
    f'(x) = cos^2 x - 2(x-1)cos x sin x + 1x
    2. Escolha de uma aproximação inicial: Vamos começar com x0 = 0.7.
    3. Iteração:
    xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
    Aplicando essa fórmula várias vezes até que a diferença entre xn+1 e xn seja menor que 10^-6.
Após algumas iterações, chegamos à mesma aproximação: x approx 0.703468.

Resposta

A raiz da equação (x-1) cos^2 x = -log x com erro menor que 10^-6 é aproximadamente x approx 0.703468.

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