Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação pra resolver:
. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de
que satisfazem essa equação, ou seja, as raízes dela. Vamos precisar usar alguns métodos numéricos para isso, já que a equação é de quinto grau e não dá pra resolver facilmente com métodos algébricos comuns. Vamos também garantir que o erro nas soluções seja menor que
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar nosso trabalho. Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Simplificando os termos semelhantes:
Agora, nossa equação para resolver é
.
Passo 3
Vamos usar o Método da Bissecção para encontrar uma raiz. Esse método é útil quando sabemos que a função muda de sinal em um intervalo, ou seja,
e
têm sinais opostos.
Primeiro, definimos a função:
Vamos testar alguns valores para encontrar um intervalo onde
muda de sinal.
Para
:
Para
:
Para
:
Vemos que entre
e
, a função muda de
para
. Então, há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 4
Agora, aplicamos o Método da Bissecção no intervalo
:
- Calculamos o ponto médio:
. - Avaliamos
:
Como
e
, a raiz está no intervalo
.
Repetimos o processo até que o intervalo seja menor que
.
Passo 5
Para agilizar, vamos utilizar uma abordagem iterativa resumida:
-
, - Como
e , a raiz está em - Novo ponto médio:
, - Agora, a raiz está em
- Continuamos esse processo até que a largura do intervalo seja menor que
Após várias iterações, chegamos a uma aproximação da raiz com o erro desejado.
Passo 6
Outra forma de encontrar a raiz é usando o Método de Newton-Raphson, que é mais rápido se já tivermos uma boa estimativa inicial.
Primeiro, precisamos da derivada da função:
Escolhemos uma aproximação inicial, digamos
.
Aplicamos a fórmula:
Calculando:
Repetimos o processo até que
.
Resposta
Após aplicar os métodos de Bissecção e Newton-Raphson, encontramos que uma das raízes da equação
com erro menor que
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação: