Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x^5+2 x^2+1=x^3+2 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação pra resolver: . Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de que satisfazem essa equação, ou seja, as raízes dela. Vamos precisar usar alguns métodos numéricos para isso, já que a equação é de quinto grau e não dá pra resolver facilmente com métodos algébricos comuns. Vamos também garantir que o erro nas soluções seja menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar nosso trabalho. Subtraindo x^5 + 2x^2 + 1 - x^3 - 2x^2 = 0 de ambos os lados, temos:
x^5 - x^3 + 1 = 0
Simplificando os termos semelhantes:
Agora, nossa equação para resolver é .

Passo 3

Vamos usar o Método da Bissecção para encontrar uma raiz. Esse método é útil quando sabemos que a função muda de sinal em um intervalo, ou seja, f(x) = x^5 - x^3 + 1 e f(0) = 0 - 0 + 1 = 1 têm sinais opostos.
Primeiro, definimos a função:
f(-1) = (-1)^5 - (-1)^3 + 1 = -1 - (-1) + 1 = -1 + 1 + 1 = 1
Vamos testar alguns valores para encontrar um intervalo onde f(-2) = (-2)^5 - (-2)^3 + 1 = -32 - (-8) + 1 = -32 + 8 + 1 = -23 muda de sinal.
Para :
Para :
Para :
Vemos que entre e , a função muda de para . Então, há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Agora, aplicamos o Método da Bissecção no intervalo f(-1.5) = (-1.5)^5 - (-1.5)^3 + 1 approx -7.59375 - (-3.375) + 1 = -7.59375 + 3.375 + 1 = -3.21875 :
  1. Calculamos o ponto médio: .
  2. Avaliamos :
Como e , a raiz está no intervalo .
Repetimos o processo até que o intervalo seja menor que .

Passo 5

Para agilizar, vamos utilizar uma abordagem iterativa resumida:
  1. ,
  2. Como e , a raiz está em
  3. Novo ponto médio: ,
  4. Agora, a raiz está em
  5. Continuamos esse processo até que a largura do intervalo seja menor que
Após várias iterações, chegamos a uma aproximação da raiz com o erro desejado.

Passo 6

Outra forma de encontrar a raiz é usando o Método de Newton-Raphson, que é mais rápido se já tivermos uma boa estimativa inicial.
Primeiro, precisamos da derivada da função:
f'(x) = 5x^4 - 3x^2
Escolhemos uma aproximação inicial, digamos xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) .
Aplicamos a fórmula:
Calculando:
Repetimos o processo até que .

Resposta

Após aplicar os métodos de Bissecção e Newton-Raphson, encontramos que uma das raízes da equação com erro menor que é aproximadamente .

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