Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação pra resolver: . Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de que satisfazem essa equação, ou seja, as raízes dela. Vamos precisar usar alguns métodos numéricos para isso, já que a equação é de quinto grau e não dá pra resolver facilmente com métodos algébricos comuns. Vamos também garantir que o erro nas soluções seja menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar nosso trabalho. Subtraindo de ambos os lados, temos:
Simplificando os termos semelhantes:
Agora, nossa equação para resolver é .

Passo 3

Vamos usar o Método da Bissecção para encontrar uma raiz. Esse método é útil quando sabemos que a função muda de sinal em um intervalo, ou seja, e têm sinais opostos.
Primeiro, definimos a função:
Vamos testar alguns valores para encontrar um intervalo onde muda de sinal.
Para :
Para :
Para :
Vemos que entre e , a função muda de para . Então, há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Agora, aplicamos o Método da Bissecção no intervalo :
  1. Calculamos o ponto médio: .
  2. Avaliamos :
Como e , a raiz está no intervalo .
Repetimos o processo até que o intervalo seja menor que .

Passo 5

Para agilizar, vamos utilizar uma abordagem iterativa resumida:
  1. ,
  2. Como e , a raiz está em
  3. Novo ponto médio: ,
  4. Agora, a raiz está em
  5. Continuamos esse processo até que a largura do intervalo seja menor que
Após várias iterações, chegamos a uma aproximação da raiz com o erro desejado.

Passo 6

Outra forma de encontrar a raiz é usando o Método de Newton-Raphson, que é mais rápido se já tivermos uma boa estimativa inicial.
Primeiro, precisamos da derivada da função:
Escolhemos uma aproximação inicial, digamos .
Aplicamos a fórmula:
Calculando:
Repetimos o processo até que .

Resposta

Após aplicar os métodos de Bissecção e Newton-Raphson, encontramos que uma das raízes da equação com erro menor que é aproximadamente .

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