Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos. Equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A equação que temos é: Nosso objetivo é encontrar as raízes dessa equação, ou seja, os valores de que tornam a equação verdadeira. Para isso, vamos usar alguns métodos matemáticos, como a rearrumação da equação e o Método de Newton-Raphson, garantindo que o erro seja menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para que tudo fique igual a zero. Isso facilita a aplicação dos métodos de resolução. Subtraindo todos os termos do lado direito para o esquerdo, temos: Isso simplifica a nossa equação para uma forma padrão de polinômio:

Passo 3

Agora, vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Uma maneira inicial é verificar se existem raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema nos ajuda a identificar possíveis valores de que são fracionários e que satisfazem a equação. No entanto, ao testar os possíveis candidatos, podemos perceber que não há raízes racionais óbvias. Então, vamos optar pelo Método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para aproximar as raízes de uma função.

Passo 4

Para aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos primeiro definir nossa função e sua derivada . A função é: Agora, vamos calcular a derivada :

Passo 5

O Método de Newton-Raphson utiliza a seguinte fórmula para iterar e aproximar as raízes: Precisamos escolher um valor inicial próximo à raiz que queremos encontrar. Vamos tentar com .

Passo 6

Vamos calcular e : Aqui percebemos um problema: a derivada em é zero, o que significa que não podemos continuar com esse valor inicial, pois dividiríamos por zero. Vamos escolher outro valor inicial, digamos .

Passo 7

Calculando e : Agora aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:

Passo 8

Vamos repetir o processo com : Aplicando novamente a fórmula:

Passo 9

Continuamos o processo com : Aplicando a fórmula:

Passo 10

Repetindo com : Aplicando a fórmula:

Passo 11

Verificamos a precisão da raiz: O valor de está muito próximo de zero, com um erro menor que . Portanto, nossa aproximação é válida.

Resposta

A raiz da equação encontrada, com erro menor que , é aproximadamente:

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