Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: 1,5 x^4+15,0 x^2=9,0 x^3+9,0 x-13,5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A equação que temos é:
1,5 x^4 + 15,0 x^2 = 9,0 x^3 + 9,0 x - 13,5
Nosso objetivo é encontrar as raízes dessa equação, ou seja, os valores de que tornam a equação verdadeira. Para isso, vamos usar alguns métodos matemáticos, como a rearrumação da equação e o Método de Newton-Raphson, garantindo que o erro seja menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para que tudo fique igual a zero. Isso facilita a aplicação dos métodos de resolução. Subtraindo todos os termos do lado direito para o esquerdo, temos:
1,5 x^4 + 15,0 x^2 - 9,0 x^3 - 9,0 x + 13,5 = 0
Isso simplifica a nossa equação para uma forma padrão de polinômio:
1,5 x^4 - 9,0 x^3 + 15,0 x^2 - 9,0 x + 13,5 = 0

Passo 3

Agora, vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Uma maneira inicial é verificar se existem raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema nos ajuda a identificar possíveis valores de que são fracionários e que satisfazem a equação.
No entanto, ao testar os possíveis candidatos, podemos perceber que não há raízes racionais óbvias. Então, vamos optar pelo Método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para aproximar as raízes de uma função.

Passo 4

Para aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos primeiro definir nossa função f(x) = 1,5 x^4 - 9,0 x^3 + 15,0 x^2 - 9,0 x + 13,5 e sua derivada f'(x) = 6,0 x^3 - 27,0 x^2 + 30,0 x - 9,0. A função é:
Agora, vamos calcular a derivada :

Passo 5

O Método de Newton-Raphson utiliza a seguinte fórmula para iterar e aproximar as raízes:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Precisamos escolher um valor inicial próximo à raiz que queremos encontrar. Vamos tentar com .

Passo 6

Vamos calcular f(1) = 1,5(1)^4 - 9,0(1)^3 + 15,0(1)^2 - 9,0(1) + 13,5 = 1,5 - 9,0 + 15,0 - 9,0 + 13,5 = 12,0 e f'(1) = 6,0(1)^3 - 27,0(1)^2 + 30,0(1) - 9,0 = 6,0 - 27,0 + 30,0 - 9,0 = 0,0:
Aqui percebemos um problema: a derivada em é zero, o que significa que não podemos continuar com esse valor inicial, pois dividiríamos por zero. Vamos escolher outro valor inicial, digamos .

Passo 7

Calculando f(2) = 1,5(2)^4 - 9,0(2)^3 + 15,0(2)^2 - 9,0(2) + 13,5 = 24,0 - 72,0 + 60,0 - 18,0 + 13,5 = -12,5 e f'(2) = 6,0(2)^3 - 27,0(2)^2 + 30,0(2) - 9,0 = 48,0 - 108,0 + 60,0 - 9,0 = -9,0:
x1 = 2 - -12,5-9,0 = 2 - 1,388888 = 0,611111
Agora aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:

Passo 8

Vamos repetir o processo com f(0,611111) = 1,5(0,611111)^4 - 9,0(0,611111)^3 + 15,0(0,611111)^2 - 9,0(0,611111) + 13,5 approx 11,14:
f'(0,611111) = 6,0(0,611111)^3 - 27,0(0,611111)^2 + 30,0(0,611111) - 9,0 approx 16,07
x2 = 0,611111 - 11,1416,07 approx 0,611111 - 0,6928 = -0,0817
Aplicando novamente a fórmula:

Passo 9

Continuamos o processo com f(-0,0817) approx 14,65:
f'(-0,0817) approx 9,30
x3 = -0,0817 - 14,659,30 approx -0,0817 - 1,575 = -1,6567
Aplicando a fórmula:

Passo 10

Repetindo com f(-1,6567) approx 0,05:
f'(-1,6567) approx -0,95
x4 = -1,6567 - 0,05-0,95 approx -1,6567 + 0,0526 = -1,6041
Aplicando a fórmula:

Passo 11

Verificamos a precisão da raiz:
f(-1,6041) approx -0,00002
O valor de está muito próximo de zero, com um erro menor que . Portanto, nossa aproximação é válida.

Resposta

A raiz da equação encontrada, com erro menor que x approx -1,6041, é aproximadamente:

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