Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A equação que temos é:
Nosso objetivo é encontrar as raízes dessa equação, ou seja, os valores de que tornam a equação verdadeira. Para isso, vamos usar alguns métodos matemáticos, como a rearrumação da equação e o Método de Newton-Raphson, garantindo que o erro seja menor que .
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para que tudo fique igual a zero. Isso facilita a aplicação dos métodos de resolução. Subtraindo todos os termos do lado direito para o esquerdo, temos:
Isso simplifica a nossa equação para uma forma padrão de polinômio:
Passo 3
Agora, vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Uma maneira inicial é verificar se existem raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema nos ajuda a identificar possíveis valores de que são fracionários e que satisfazem a equação.
No entanto, ao testar os possíveis candidatos, podemos perceber que não há raízes racionais óbvias. Então, vamos optar pelo Método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para aproximar as raízes de uma função.
Passo 4
Para aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos primeiro definir nossa função e sua derivada . A função é:
Agora, vamos calcular a derivada :
Passo 5
O Método de Newton-Raphson utiliza a seguinte fórmula para iterar e aproximar as raízes:
Precisamos escolher um valor inicial próximo à raiz que queremos encontrar. Vamos tentar com .
Passo 6
Vamos calcular e :
Aqui percebemos um problema: a derivada em é zero, o que significa que não podemos continuar com esse valor inicial, pois dividiríamos por zero. Vamos escolher outro valor inicial, digamos .
Passo 7
Calculando e :
Agora aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Passo 8
Vamos repetir o processo com :
Aplicando novamente a fórmula:
Passo 9
Continuamos o processo com :
Aplicando a fórmula:
Passo 10
Repetindo com :
Aplicando a fórmula:
Passo 11
Verificamos a precisão da raiz:
O valor de está muito próximo de zero, com um erro menor que . Portanto, nossa aproximação é válida.
Resposta
A raiz da equação encontrada, com erro menor que , é aproximadamente:
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