Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O enunciado pede para encontrar as raízes da equação , ou seja, os valores de que satisfazem essa igualdade. Vamos utilizar métodos numéricos para encontrar essas raízes com um erro menor que . Para isso, vamos precisar entender alguns métodos como o Método da Bisseção e o Método de Newton-Raphson.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que tudo fique igual a zero, facilitando a aplicação dos métodos numéricos:
Agora, nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem essa equação.

Passo 3

Vamos começar usando o Método da Bisseção. Esse método é útil quando sabemos que a função muda de sinal em um intervalo, indicando que há uma raiz nesse intervalo.
Primeiro, definimos nossa função:
Precisamos encontrar dois valores, e , onde e têm sinais opostos.

Passo 4

Vamos testar alguns valores para encontrar esse intervalo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que e , então sabemos que há pelo menos uma raiz entre 1 e 2.

Passo 5

Aplicando o Método da Bisseção:
  1. Primeira Iteração:
    • ,
    • Calculando :
  • Como , a raiz está entre 1 e 1.5.
  1. Segunda Iteração:
    • ,
    • Calculando :
  • Ainda , então a raiz está entre 1 e 1.25.
Vamos continuar esse processo até que a diferença entre e seja menor que .

Passo 6

Após várias iterações do Método da Bisseção, chegamos a um valor aproximado para a raiz:

Passo 7

Agora, vamos usar o Método de Newton-Raphson para refinar nossa estimativa da raiz. Esse método utiliza a derivada da função para encontrar melhores aproximações rapidamente.
Primeiro, encontramos a derivada de :

Passo 8

Escolhemos uma aproximação inicial, por exemplo, . Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Calculando para :
Repetimos o processo até que a diferença entre as iterações seja menor que .

Passo 9

Após algumas iterações do Método de Newton-Raphson, obtemos uma raiz mais precisa:

Resposta

As raízes da equação , com erro menor que , são aproximadamente .

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