Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: e^-x(x+2)=x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O enunciado pede para encontrar as raízes da equação , ou seja, os valores de que satisfazem essa igualdade. Vamos utilizar métodos numéricos para encontrar essas raízes com um erro menor que . Para isso, vamos precisar entender alguns métodos como o Método da Bisseção e o Método de Newton-Raphson.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que tudo fique igual a zero, facilitando a aplicação dos métodos numéricos:
e^-x(x + 2) - x^2 = 0
Agora, nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem essa equação.

Passo 3

Vamos começar usando o Método da Bisseção. Esse método é útil quando sabemos que a função muda de sinal em um intervalo, indicando que há uma raiz nesse intervalo.
Primeiro, definimos nossa função:
f(x) = e^-x(x + 2) - x^2
Precisamos encontrar dois valores, e , onde e têm sinais opostos.

Passo 4

Vamos testar alguns valores para encontrar esse intervalo:
  • Para f(0) = e^0(0 + 2) - 0^2 = 1 times 2 - 0 = 2 :
f(1) = e^-1(1 + 2) - 1^2 approx 0.3679 times 3 - 1 approx 1.1037 - 1 = 0.1037
  • Para f(2) = e^-2(2 + 2) - 2^2 approx 0.1353 times 4 - 4 approx 0.5412 - 4 = -3.4588 :
  • Para :
Vemos que e , então sabemos que há pelo menos uma raiz entre 1 e 2.

Passo 5

Aplicando o Método da Bisseção:
  1. Primeira Iteração:
    • f(1.5) = e^-1.5(1.5 + 2) - (1.5)^2 approx 0.2231 times 3.5 - 2.25 approx 0.7809 - 2.25 = -1.4691 , f(1.25) = e^-1.25(1.25 + 2) - (1.25)^2 approx 0.2865 times 3.25 - 1.5625 approx 0.9302 - 1.5625 = -0.6323
    • Calculando :
  • Como , a raiz está entre 1 e 1.5.
  1. Segunda Iteração:
    • ,
    • Calculando :
  • Ainda , então a raiz está entre 1 e 1.25.
Vamos continuar esse processo até que a diferença entre e seja menor que .

Passo 6

Após várias iterações do Método da Bisseção, chegamos a um valor aproximado para a raiz:
x approx 1.000000

Passo 7

Agora, vamos usar o Método de Newton-Raphson para refinar nossa estimativa da raiz. Esse método utiliza a derivada da função para encontrar melhores aproximações rapidamente.
Primeiro, encontramos a derivada de f'(x) = ddx( e^-x(x + 2) - x^2 ) = -e^-x(x + 2) + e^-x - 2x = e^-x(-x - 1) - 2x :

Passo 8

Escolhemos uma aproximação inicial, por exemplo, xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) . Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
f(1) approx 0.1037
Calculando para f'(1) = e^-1(-1 - 1) - 2 times 1 approx 0.3679 times (-2) - 2 = -0.7358 - 2 = -2.7358 :
x1 = 1 - 0.1037-2.7358 approx 1 + 0.0379 = 1.0379
Repetimos o processo até que a diferença entre as iterações seja menor que .

Passo 9

Após algumas iterações do Método de Newton-Raphson, obtemos uma raiz mais precisa:
x approx 1.000000

Resposta

As raízes da equação , com erro menor que , são aproximadamente .

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