Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O enunciado pede para encontrar as raízes da equação
, ou seja, os valores de
que satisfazem essa igualdade. Vamos utilizar métodos numéricos para encontrar essas raízes com um erro menor que
. Para isso, vamos precisar entender alguns métodos como o Método da Bisseção e o Método de Newton-Raphson.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que tudo fique igual a zero, facilitando a aplicação dos métodos numéricos:
Agora, nosso objetivo é encontrar os valores de
que satisfazem essa equação.
Passo 3
Vamos começar usando o Método da Bisseção. Esse método é útil quando sabemos que a função muda de sinal em um intervalo, indicando que há uma raiz nesse intervalo.
Primeiro, definimos nossa função:
Precisamos encontrar dois valores,
e
, onde
e
têm sinais opostos.
Passo 4
Vamos testar alguns valores para encontrar esse intervalo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Vemos que
e
, então sabemos que há pelo menos uma raiz entre 1 e 2.
Passo 5
Aplicando o Método da Bisseção:
- Primeira Iteração:
-
, -
- Calculando
:
-
- Como
, a raiz está entre 1 e 1.5.
- Segunda Iteração:
-
, -
- Calculando
:
-
- Ainda
, então a raiz está entre 1 e 1.25.
Vamos continuar esse processo até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Passo 6
Após várias iterações do Método da Bisseção, chegamos a um valor aproximado para a raiz:
Passo 7
Agora, vamos usar o Método de Newton-Raphson para refinar nossa estimativa da raiz. Esse método utiliza a derivada da função para encontrar melhores aproximações rapidamente.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Passo 8
Escolhemos uma aproximação inicial, por exemplo,
. Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Calculando para
:
Repetimos o processo até que a diferença entre as iterações seja menor que
.
Passo 9
Após algumas iterações do Método de Newton-Raphson, obtemos uma raiz mais precisa:
Resposta
As raízes da equação
, com erro menor que
, são aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação: