Qual a solução do sistema ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que envolve potências com diferentes bases. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar regras de potências e propriedades de igualdades de exponenciais. Precisaremos simplificar cada equação para encontrar relações entre as variáveis.

Passo 2

Vamos começar pela primeira equação:
Lembrando que quando multiplicamos potências com a mesma base, somamos os expoentes. Então:
Sabemos que , então:
Como as bases são iguais, os expoentes devem ser iguais:
çã

Passo 3

Agora, vamos para a segunda equação:
Primeiro, simplificamos o lado esquerdo usando a regra de somar os expoentes:
Sabemos que , então . Substituindo:
Agora, multiplicamos as potências de mesma base somando os expoentes:
Igualando os expoentes:
çã

Passo 4

Vamos para a terceira equação:
Sabemos que , então:
Somando os expoentes no lado esquerdo:
Igualando os expoentes:
çã

Passo 5

Agora, temos um sistema de três equações:
çãçãçã
Vamos usar a Equação 3 para substituir nas Equações 1 e 2.
Substituindo na Equação 1:
çã
Substituindo na Equação 2:
çã

Passo 6

Agora temos o seguinte sistema com duas equações:
çãçã
Vamos somar as duas equações para eliminar :

Passo 7

Com o valor de , podemos encontrar usando a Equação 5:

Passo 8

Agora, usando na Equação 3 para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é , e .

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