Qual a solução do sistema l2^x cdot 2^y cdot 2^z=8 3^x cdot 3^z=3^9 cdot 9^y 125 cdot 5^x=5^z ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que envolve potências com diferentes bases. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar regras de potências e propriedades de igualdades de exponenciais. Precisaremos simplificar cada equação para encontrar relações entre as variáveis.

Passo 2

Vamos começar pela primeira equação:
2^x cdot 2^y cdot 2^z = 8
Lembrando que quando multiplicamos potências com a mesma base, somamos os expoentes. Então:
2^x + y + z = 8
Sabemos que 2^x + y + z = 2^3 , então:
x + y + z = 3 (Equação 1)
Como as bases são iguais, os expoentes devem ser iguais:
çã

Passo 3

Agora, vamos para a segunda equação:
3^x cdot 3^z = 3^9 cdot 9^y
Primeiro, simplificamos o lado esquerdo usando a regra de somar os expoentes:
3^x + z = 3^9 cdot 9^y
Sabemos que 3^x + z = 3^9 cdot 3^2y , então 3^x + z = 3^9 + 2y . Substituindo:
x + z = 9 + 2y (Equação 2)
Agora, multiplicamos as potências de mesma base somando os expoentes:
Igualando os expoentes:
çã

Passo 4

Vamos para a terceira equação:
125 cdot 5^x = 5^z
Sabemos que 5^3 cdot 5^x = 5^z , então:
5^3 + x = 5^z
Somando os expoentes no lado esquerdo:
3 + x = z (Equação 3)
Igualando os expoentes:
çã

Passo 5

Agora, temos um sistema de três equações:
x + y + z = 3 (Equação 1) x + z = 9 + 2y (Equação 2) z = 3 + x (Equação 3) çãçãçã
Vamos usar a Equação 3 para substituir x + y + (3 + x) = 3 2x + y + 3 = 3 2x + y = 0 (Equação 4) nas Equações 1 e 2.
Substituindo x + (3 + x) = 9 + 2y 2x + 3 = 9 + 2y 2x - 2y = 6 x - y = 3 (Equação 5) na Equação 1:
çã
Substituindo na Equação 2:
çã

Passo 6

Agora temos o seguinte sistema com duas equações:
2x + y = 0 (Equação 4) x - y = 3 (Equação 5) çãçã
Vamos somar as duas equações para eliminar 2x + y + x - y = 0 + 3 3x = 3 x = 1 :

Passo 7

Com o valor de 1 - y = 3 -y = 2 y = -2 , podemos encontrar usando a Equação 5:

Passo 8

Agora, usando z = 3 + 1 z = 4 na Equação 3 para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é , e .

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