Deduza a regra de Simpson simples e com repetição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para deduzir a regra de Simpson simples e também a versão com repetição. Isso está no campo de métodos de integração numérica, que é usado para calcular áreas sob curvas quando não conseguimos resolver a integral de forma exata. Para isso, vamos precisar entender como funciona a regra de Simpson e como aplicá-la em intervalos menores para melhorar a precisão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a regra de Simpson utiliza uma parábola para aproximar a área sob a curva. Imagine que temos três pontos igualmente espaçados na função que queremos integrar. A ideia é ajustar uma parábola que passe por esses três pontos e calcular a área sob essa parábola, que será uma aproximação da área real.

Passo 3

Para derivar a fórmula, consideramos que estamos integrando uma função no intervalo . Dividimos esse intervalo em dois subintervalos iguais, com um ponto médio .

Passo 4

O próximo passo é aproximar a integral de de a usando a seguinte combinação:
Essa é a fórmula da regra de Simpson simples. Aqui, estamos pesando os valores da função nos pontos , e com coeficientes 1, 4 e 1, respectivamente.

Passo 5

Agora, para a regra de Simpson com repetição (ou compostas), dividimos o intervalo em um número par de subintervalos, digamos . Cada par de subintervalos formará um intervalo menor onde aplicamos a regra de Simpson simples.
A fórmula geral fica:
Onde e .

Passo 6

Explicando essa fórmula: multiplicamos a soma dos valores da função nos pontos ímpares por 4 e nos pares por 2, além dos extremos e . Tudo isso é multiplicado por . Isso permite que a aproximação seja mais precisa, já que estamos aplicando a regra de Simpson em vários pequenos intervalos.

Resposta

A regra de Simpson simples é dada por:
E a regra de Simpson com repetição (composta) é:
Onde e é um número par de subintervalos.

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