Deduza a regra de Simpson simples e com repetição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para deduzir a regra de Simpson simples e também a versão com repetição. Isso está no campo de métodos de integração numérica, que é usado para calcular áreas sob curvas quando não conseguimos resolver a integral de forma exata. Para isso, vamos precisar entender como funciona a regra de Simpson e como aplicá-la em intervalos menores para melhorar a precisão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a regra de Simpson utiliza uma parábola para aproximar a área sob a curva. Imagine que temos três pontos igualmente espaçados na função que queremos integrar. A ideia é ajustar uma parábola que passe por esses três pontos e calcular a área sob essa parábola, que será uma aproximação da área real.
Passo 3
Para derivar a fórmula, consideramos que estamos integrando uma função
no intervalo
. Dividimos esse intervalo em dois subintervalos iguais, com um ponto médio
.
Passo 4
O próximo passo é aproximar a integral de
de
a
usando a seguinte combinação:
Essa é a fórmula da regra de Simpson simples. Aqui, estamos pesando os valores da função nos pontos
,
e
com coeficientes 1, 4 e 1, respectivamente.
Passo 5
Agora, para a regra de Simpson com repetição (ou compostas), dividimos o intervalo
em um número par de subintervalos, digamos
. Cada par de subintervalos formará um intervalo menor onde aplicamos a regra de Simpson simples.
A fórmula geral fica:
Onde
e
.
Passo 6
Explicando essa fórmula: multiplicamos a soma dos valores da função nos pontos ímpares por 4 e nos pares por 2, além dos extremos
e
. Tudo isso é multiplicado por
. Isso permite que a aproximação seja mais precisa, já que estamos aplicando a regra de Simpson em vários pequenos intervalos.
Resposta
A regra de Simpson simples é dada por:
E a regra de Simpson com repetição (composta) é:
Onde
e
é um número par de subintervalos.