Partindo da distribuição de Maxwell-Boltzmann,
f(v)=4 pi(M2 pi R T)^3 / 2 v^2 e^-M v^2 / 2 R T
deduza a expressão da velocidade mais provável v*,
v^*=(2 R TM)^1 / 2
que corresponde ao máximo da distribuição de Maxwell-Boltzmann.
Para isso, lembre-se que em um ponto de máximo ou mínimo de uma função qualquer suas derivadas são nulas. Dessa forma, faça a derivada da distribuição de Maxwell-Boltzmann em relação à velocidade v , iguale a expressão resultante a zero e isole v.
Dicas: Ao fazer a derivada, lembre-se que a distribuição de Maxwell-Boltzmann consiste em um produto de uma função v² por uma função gaussiana. Será necessário então calcular a derivada de um produto de funções:
dd x(f g)=g d fd x+f d gd x
Após calcular a derivada e igualar a zero, note que a função gaussiana, exp (-ax^2), aparecerá em todos os termos não-nulos e poderá ser cancelada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a distribuição de Maxwell-Boltzmann, que descreve como as velocidades das partículas em um gás estão distribuídas. A equação é:
f(v)=4 pi(M2 pi R T)^3 / 2 v^2 e^-M v^2 / 2 R T
O que a gente quer é encontrar a velocidade mais provável $ v^* $, ou seja, o valor de $ v $ que maximiza essa função $ f(v) $. Para isso, vamos usar cálculo: tirar a derivada de $ f(v) $ em relação a $ v $, igualar a zero e resolver para $ v $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação. A função $ f(v) $ é um produto de duas partes:
  1. $ v^2 $: Isso significa que em velocidades maiores, a quantidade inicialmente cresce.
  2. $ e^{-M v^{2} / 2 R T} $: Essa é uma função exponencial negativa, que faz $ f(v) $ decair para velocidades muito altas.
Então, para encontrar o máximo, precisamos ver onde esse crescimento e decaimento se equilibram.

Passo 3

Vamos chamar as duas partes da função de $ f(v) $:
  • $ g(v) = v^2 $
  • $ h(v) = e^{-M v^{2} / 2 R T} $
A derivada de $ f(v) = g(v) \cdot h(v) $ vai usar a regra do produto:
f(v)
Então, precisamos calcular $ g’(v) $ e $ h’(v) $.

Passo 4

Calculando as derivadas:
  • $ g(v) = v^2 $ então $ g’(v) = 2v $
  • $ h(v) = e^{-M v^{2} / 2 R T} $ então, usando a regra da cadeia:
    $ h’(v) = e^{-M v^{2} / 2 R T} \cdot \left( -\frac{M}{R T} v \right) = -\frac{M}{R T} v \cdot e^{-M v^{2} / 2 R T} $

Passo 5

Agora, aplicando a regra do produto:
f'(v) = g'(v) cdot h(v) + g(v) cdot h'(v) = 2v cdot e^-M v^2 / 2 R T + v^2 cdot ( -MR T v cdot e^-M v^2 / 2 R T )
Simplificando:
f'(v) = e^-M v^2 / 2 R T cdot ( 2v - MR T v^3 )

Passo 6

Para encontrar o máximo, igualamos $ f’(v) = 0 $:
f'(v) = 0
Como a exponencial nunca é zero, podemos focar na parte do parênteses:
e^-M v^2 / 2 R T cdot ( 2v - MR T v^3 ) = 0

Passo 7

Fatorando $ v $:
v
Isso dá duas soluções:
  1. $ v = 0 $ (que é um mínimo)
  2. $ 2 - \frac{M}{R T} v^2 = 0 $
Ignoramos $ v = 0 $ porque estamos procurando o máximo.

Passo 8

Resolvendo $ 2 - \frac{M}{R T} v^2 = 0 $:
2 - MR T v^2 = 0

Resposta

A velocidade mais provável é:
v^* = ( 2 R TM )^1/2

Exercícios relacionados