Partindo da distribuição de Maxwell-Boltzmann,
deduza a expressão da velocidade mais provável v*,
que corresponde ao máximo da distribuição de Maxwell-Boltzmann.
Para isso, lembre-se que em um ponto de máximo ou mínimo de uma função qualquer suas derivadas são nulas. Dessa forma, faça a derivada da distribuição de Maxwell-Boltzmann em relação à velocidade v , iguale a expressão resultante a zero e isole v.
Dicas: Ao fazer a derivada, lembre-se que a distribuição de Maxwell-Boltzmann consiste em um produto de uma função v² por uma função gaussiana. Será necessário então calcular a derivada de um produto de funções:
Após calcular a derivada e igualar a zero, note que a função gaussiana,
, aparecerá em todos os termos não-nulos e poderá ser cancelada.
Para isso, lembre-se que em um ponto de máximo ou mínimo de uma função qualquer suas derivadas são nulas. Dessa forma, faça a derivada da distribuição de Maxwell-Boltzmann em relação à velocidade v , iguale a expressão resultante a zero e isole v.
Dicas: Ao fazer a derivada, lembre-se que a distribuição de Maxwell-Boltzmann consiste em um produto de uma função v² por uma função gaussiana. Será necessário então calcular a derivada de um produto de funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a distribuição de Maxwell-Boltzmann, que descreve como as velocidades das partículas em um gás estão distribuídas. A equação é:
O que a gente quer é encontrar a velocidade mais provável $ v^* $, ou seja, o valor de $ v $ que maximiza essa função $ f(v) $. Para isso, vamos usar cálculo: tirar a derivada de $ f(v) $ em relação a $ v $, igualar a zero e resolver para $ v $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação. A função $ f(v) $ é um produto de duas partes:
- $ v^2 $: Isso significa que em velocidades maiores, a quantidade inicialmente cresce.
- $ e^{-M v^{2} / 2 R T} $: Essa é uma função exponencial negativa, que faz $ f(v) $ decair para velocidades muito altas.
Então, para encontrar o máximo, precisamos ver onde esse crescimento e decaimento se equilibram.
Passo 3
Vamos chamar as duas partes da função de $ f(v) $:
- $ g(v) = v^2 $
- $ h(v) = e^{-M v^{2} / 2 R T} $
A derivada de $ f(v) = g(v) \cdot h(v) $ vai usar a regra do produto:
Então, precisamos calcular $ g’(v) $ e $ h’(v) $.
Passo 4
Calculando as derivadas:
-
$ g(v) = v^2 $ então $ g’(v) = 2v $
-
$ h(v) = e^{-M v^{2} / 2 R T} $ então, usando a regra da cadeia:$ h’(v) = e^{-M v^{2} / 2 R T} \cdot \left( -\frac{M}{R T} v \right) = -\frac{M}{R T} v \cdot e^{-M v^{2} / 2 R T} $
Passo 5
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar o máximo, igualamos $ f’(v) = 0 $:
Como a exponencial nunca é zero, podemos focar na parte do parênteses:
Passo 7
Fatorando $ v $:
Isso dá duas soluções:
- $ v = 0 $ (que é um mínimo)
- $ 2 - \frac{M}{R T} v^2 = 0 $
Ignoramos $ v = 0 $ porque estamos procurando o máximo.
Passo 8
Resolvendo $ 2 - \frac{M}{R T} v^2 = 0 $:
Resposta
A velocidade mais provável é:
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