A partir do intervalo [1,2], qual o número mínimo de iterações, o método da bissecção obtém um intervalo contendo uma aproximação de
com erro inferior a
?
Passo 1
Vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar o número mínimo de iterações necessárias no método da bissecção para aproximar a raiz cúbica de 2 (
) com um erro menor que
. Para isso, vamos usar conceitos de matemática numérica, especificamente o método da bissecção, que ajuda a encontrar raízes de funções de forma eficiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método da bissecção. Esse método divide um intervalo em duas partes iguais e, em cada iteração, seleciona a subparte que contém a raiz da função. A cada passo, a estimativa da raiz fica mais precisa.
Passo 3
No nosso caso, o intervalo inicial é [1, 2]. Sabemos que
está nesse intervalo porque
e
, e 2 está entre 1 e 8.
Passo 4
O erro após
iterações no método da bissecção é dado por:
onde
e
são os limites do intervalo inicial.
Passo 5
Queremos que o erro seja menor que
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Para encontrar
, precisamos resolver a inequação:
Aplicando logaritmo na base 2 dos dois lados:
Passo 7
Calculando o logaritmo:
Passo 8
Como
precisa ser inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
São necessárias 20 iterações no método da bissecção para obter uma aproximação de
com erro inferior a
.