A partir do intervalo [1,2], qual o número mínimo de iterações, o método da bissecção obtém um intervalo contendo uma aproximação de com erro inferior a ?
Passo 1
Vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar o número mínimo de iterações necessárias no método da bissecção para aproximar a raiz cúbica de 2 () com um erro menor que . Para isso, vamos usar conceitos de matemática numérica, especificamente o método da bissecção, que ajuda a encontrar raízes de funções de forma eficiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método da bissecção. Esse método divide um intervalo em duas partes iguais e, em cada iteração, seleciona a subparte que contém a raiz da função. A cada passo, a estimativa da raiz fica mais precisa.
Passo 3
No nosso caso, o intervalo inicial é [1, 2]. Sabemos que está nesse intervalo porque e , e 2 está entre 1 e 8.
Passo 4
O erro após iterações no método da bissecção é dado por:
onde e são os limites do intervalo inicial.
Passo 5
Queremos que o erro seja menor que :
Isso simplifica para:
Passo 6
Para encontrar , precisamos resolver a inequação:
Aplicando logaritmo na base 2 dos dois lados:
Passo 7
Calculando o logaritmo:
Passo 8
Como precisa ser inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
São necessárias 20 iterações no método da bissecção para obter uma aproximação de com erro inferior a .