A partir do intervalo [1,2], qual o número mínimo de iterações, o método da bissecção obtém um intervalo contendo uma aproximação de raiz[3]2 com erro inferior a 10^-6 ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar o número mínimo de iterações necessárias no método da bissecção para aproximar a raiz cúbica de 2 ( raiz[3]2) com um erro menor que 10^-6. Para isso, vamos usar conceitos de matemática numérica, especificamente o método da bissecção, que ajuda a encontrar raízes de funções de forma eficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método da bissecção. Esse método divide um intervalo em duas partes iguais e, em cada iteração, seleciona a subparte que contém a raiz da função. A cada passo, a estimativa da raiz fica mais precisa.

Passo 3

No nosso caso, o intervalo inicial é [1, 2]. Sabemos que raiz[3]2 está nesse intervalo porque 1^3 = 1 e 2^3 = 8, e 2 está entre 1 e 8.

Passo 4

O erro após n iterações no método da bissecção é dado por:
Erro = b - a2^n
onde a e b são os limites do intervalo inicial.

Passo 5

Queremos que o erro seja menor que 10^-6:
2 - 12^n < 10^-6
Isso simplifica para:
12^n < 10^-6

Passo 6

Para encontrar n, precisamos resolver a inequação:
2^n > 10^6
Aplicando logaritmo na base 2 dos dois lados:
n > log210^6

Passo 7

Calculando o logaritmo:
log210^6 = ln10^6ln2 = 6 ln10ln2 approx 6 times 2.3025850.693147 approx 19.9315

Passo 8

Como n precisa ser inteiro, arredondamos para cima:
n = 20

Resposta

São necessárias 20 iterações no método da bissecção para obter uma aproximação de raiz[3]2 com erro inferior a 10^-6.

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