Resolva o sistema linear:
l 10 x1+2 x2+x3=7 x1+5 x2+x3=-8 2 x1+3 x2+10 x3=6
pelo método de Gauss-Jacobi com x^(0)=(0.7,-1.6,0.6)^top e varepsilon=0.05.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares que queremos resolver usando o método de Gauss-Jacobi. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas para sistemas de equações. Precisamos reorganizar as equações para isolar cada variável e usar uma estimativa inicial para começar as iterações, até que a diferença entre as estimativas seja menor que uma tolerância dada, que aqui é varepsilon = 0.05.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada equação do sistema de forma que cada variável ( x1, x2, x3) esteja isolada. Isso facilita as iterações no método de Gauss-Jacobi. O sistema original é:
l 10 x1 + 2 x2 + x3 = 7 x1 + 5 x2 + x3 = -8 2 x1 + 3 x2 + 10 x3 = 6
Vamos isolar cada variável:
  1. Isolando x1 na primeira equação:
    x1 = 7 - 2 x2 - x310
  2. Isolando x2 na segunda equação:
    x2 = -8 - x1 - x35
  3. Isolando x3 na terceira equação:
    x3 = 6 - 2 x1 - 3 x210

Passo 3

Agora que temos cada variável isolada, podemos definir as fórmulas de iteração do método de Gauss-Jacobi. A ideia é usar uma estimativa inicial para cada variável e, em cada passo, atualizar essas estimativas usando as fórmulas acima.
Dadas as fórmulas:
x1^(k+1) = 7 - 2 x2^(k) - x3^(k)10 x2^(k+1) = -8 - x1^(k) - x3^(k)5 x3^(k+1) = 6 - 2 x1^(k) - 3 x2^(k)10
Onde k representa a iteração atual.
Nossa estimativa inicial é x^(0) = (0.7, -1.6, 0.6)^top.

Passo 4

Vamos começar as iterações!
Iteração 0:
x^(0) = 0.7 -1.6 0.6
Iteração 1:
  1. Calcular x1^(1):
    x1^(1) = 7 - 2(-1.6) - 0.610 = 7 + 3.2 - 0.610 = 9.610 = 0.96
  2. Calcular x2^(1):
    x2^(1) = -8 - 0.7 - 0.65 = -9.35 = -1.86
  3. Calcular x3^(1):
    x3^(1) = 6 - 2(0.7) - 3(-1.6)10 = 6 - 1.4 + 4.810 = 9.410 = 0.94
Então, depois da primeira iteração:
x^(1) = 0.96 -1.86 0.94

Passo 5

Vamos verificar se a diferença entre x^(1) e x^(0) é menor que varepsilon = 0.05.
Calculando as diferenças absolutas:
  • |0.96 - 0.7| = 0.26
  • |-1.86 - (-1.6)| = 0.26
  • |0.94 - 0.6| = 0.34
Como todas as diferenças são maiores que 0.05, precisamos fazer mais iterações.

Passo 6

Iteração 2:
Usando x^(1) = (0.96, -1.86, 0.94)^top.
  1. Calcular x1^(2):
    x1^(2) = 7 - 2(-1.86) - 0.9410 = 7 + 3.72 - 0.9410 = 9.7810 = 0.978
  2. Calcular x2^(2):
    x2^(2) = -8 - 0.96 - 0.945 = -9.95 = -1.98
  3. Calcular x3^(2):
    x3^(2) = 6 - 2(0.96) - 3(-1.86)10 = 6 - 1.92 + 5.5810 = 9.6610 = 0.966
Então, depois da segunda iteração:
x^(2) = 0.978 -1.98 0.966

Passo 7

Vamos novamente verificar a diferença entre x^(2) e x^(1):
  • |0.978 - 0.96| = 0.018
  • |-1.98 - (-1.86)| = 0.12
  • |0.966 - 0.94| = 0.026
Como algumas diferenças ainda são maiores que 0.05, precisamos continuar.

Passo 8

Iteração 3:
Usando x^(2) = (0.978, -1.98, 0.966)^top.
  1. Calcular x1^(3):
    x1^(3) = 7 - 2(-1.98) - 0.96610 = 7 + 3.96 - 0.96610 = 9.99410 = 0.9994
  2. Calcular x2^(3):
    x2^(3) = -8 - 0.978 - 0.9665 = -9.9445 = -1.9888
  3. Calcular x3^(3):
    x3^(3) = 6 - 2(0.978) - 3(-1.98)10 = 6 - 1.956 + 5.9410 = 9.98410 = 0.9984
Então, depois da terceira iteração:
x^(3) = 0.9994 -1.9888 0.9984

Passo 9

Verificando as diferenças entre x^(3) e x^(2):
  • |0.9994 - 0.978| = 0.0214
  • |-1.9888 - (-1.98)| = 0.0088
  • |0.9984 - 0.966| = 0.0324
Ainda há diferenças acima de 0.05 em algumas variáveis, então seguimos.

Passo 10

Iteração 4:
Usando x^(3) = (0.9994, -1.9888, 0.9984)^top.
  1. Calcular x1^(4):
    x1^(4) = 7 - 2(-1.9888) - 0.998410 = 7 + 3.9776 - 0.998410 = 9.979210 = 0.99792
  2. Calcular x2^(4):
    x2^(4) = -8 - 0.9994 - 0.99845 = -9.99785 = -1.99956
  3. Calcular x3^(4):
    x3^(4) = 6 - 2(0.9994) - 3(-1.9888)10 = 6 - 1.9988 + 5.966410 = 9.967610 = 0.99676
Então, depois da quarta iteração:
x^(4) = 0.99792 -1.99956 0.99676

Passo 11

Agora, verificamos as diferenças entre x^(4) e x^(3):
  • |0.99792 - 0.9994| = 0.00148
  • |-1.99956 - (-1.9888)| = 0.01076
  • |0.99676 - 0.9984| = 0.00164
Todas as diferenças estão abaixo de varepsilon = 0.05, então podemos parar!

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Jacobi com as condições dadas é:
x approx 0.99792 -1.99956 0.99676

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