Resolva o sistema linear:
pelo método de Gauss-Jacobi com
x^(0)=(0.7,-1.6,0.6)^top e
varepsilon=0.05 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares que queremos resolver usando o método de Gauss-Jacobi. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas para sistemas de equações. Precisamos reorganizar as equações para isolar cada variável e usar uma estimativa inicial para começar as iterações, até que a diferença entre as estimativas seja menor que uma tolerância dada, que aqui é
varepsilon = 0.05 .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever cada equação do sistema de forma que cada variável (
x1 ,
x2 ,
x3 ) esteja isolada. Isso facilita as iterações no método de Gauss-Jacobi. O sistema original é:
Vamos isolar cada variável:
-
Isolando
na primeira equação:x1 x1 = 7 - 2 x2 - x310 -
Isolando
na segunda equação:x2 x2 = -8 - x1 - x35 -
Isolando
na terceira equação:x3 x3 = 6 - 2 x1 - 3 x210
Passo 3
Agora que temos cada variável isolada, podemos definir as fórmulas de iteração do método de Gauss-Jacobi. A ideia é usar uma estimativa inicial para cada variável e, em cada passo, atualizar essas estimativas usando as fórmulas acima.
Dadas as fórmulas:
Onde
k representa a iteração atual.
Nossa estimativa inicial é
x^(0) = (0.7, -1.6, 0.6)^top .
Passo 4
Vamos começar as iterações!
Iteração 0:
Iteração 1:
-
Calcular
:x1^(1) x1^(1) = 7 - 2(-1.6) - 0.610 = 7 + 3.2 - 0.610 = 9.610 = 0.96 -
Calcular
:x2^(1) x2^(1) = -8 - 0.7 - 0.65 = -9.35 = -1.86 -
Calcular
:x3^(1) x3^(1) = 6 - 2(0.7) - 3(-1.6)10 = 6 - 1.4 + 4.810 = 9.410 = 0.94
Então, depois da primeira iteração:
Passo 5
Vamos verificar se a diferença entre
x^(1) e
x^(0) é menor que
varepsilon = 0.05 .
Calculando as diferenças absolutas:
-
|0.96 - 0.7| = 0.26 -
|-1.86 - (-1.6)| = 0.26 -
|0.94 - 0.6| = 0.34
Como todas as diferenças são maiores que
0.05 , precisamos fazer mais iterações.
Passo 6
Iteração 2:
Usando
x^(1) = (0.96, -1.86, 0.94)^top .
-
Calcular
:x1^(2) x1^(2) = 7 - 2(-1.86) - 0.9410 = 7 + 3.72 - 0.9410 = 9.7810 = 0.978 -
Calcular
:x2^(2) x2^(2) = -8 - 0.96 - 0.945 = -9.95 = -1.98 -
Calcular
:x3^(2) x3^(2) = 6 - 2(0.96) - 3(-1.86)10 = 6 - 1.92 + 5.5810 = 9.6610 = 0.966
Então, depois da segunda iteração:
Passo 7
Vamos novamente verificar a diferença entre
x^(2) e
x^(1) :
-
|0.978 - 0.96| = 0.018 -
|-1.98 - (-1.86)| = 0.12 -
|0.966 - 0.94| = 0.026
Como algumas diferenças ainda são maiores que
0.05 , precisamos continuar.
Passo 8
Iteração 3:
Usando
x^(2) = (0.978, -1.98, 0.966)^top .
-
Calcular
:x1^(3) x1^(3) = 7 - 2(-1.98) - 0.96610 = 7 + 3.96 - 0.96610 = 9.99410 = 0.9994 -
Calcular
:x2^(3) x2^(3) = -8 - 0.978 - 0.9665 = -9.9445 = -1.9888 -
Calcular
:x3^(3) x3^(3) = 6 - 2(0.978) - 3(-1.98)10 = 6 - 1.956 + 5.9410 = 9.98410 = 0.9984
Então, depois da terceira iteração:
Passo 9
Verificando as diferenças entre
x^(3) e
x^(2) :
-
|0.9994 - 0.978| = 0.0214 -
|-1.9888 - (-1.98)| = 0.0088 -
|0.9984 - 0.966| = 0.0324
Ainda há diferenças acima de
0.05 em algumas variáveis, então seguimos.
Passo 10
Iteração 4:
Usando
x^(3) = (0.9994, -1.9888, 0.9984)^top .
-
Calcular
:x1^(4) x1^(4) = 7 - 2(-1.9888) - 0.998410 = 7 + 3.9776 - 0.998410 = 9.979210 = 0.99792 -
Calcular
:x2^(4) x2^(4) = -8 - 0.9994 - 0.99845 = -9.99785 = -1.99956 -
Calcular
:x3^(4) x3^(4) = 6 - 2(0.9994) - 3(-1.9888)10 = 6 - 1.9988 + 5.966410 = 9.967610 = 0.99676
Então, depois da quarta iteração:
Passo 11
Agora, verificamos as diferenças entre
x^(4) e
x^(3) :
-
|0.99792 - 0.9994| = 0.00148 -
|-1.99956 - (-1.9888)| = 0.01076 -
|0.99676 - 0.9984| = 0.00164
Todas as diferenças estão abaixo de
varepsilon = 0.05 , então podemos parar!
Resposta
A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Jacobi com as condições dadas é:
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