Suponha que a concentração de uma certa substância varie no tempo da seguinte forma:
onde é o tempo decorrido desde de um momento inicial, medido em minutos. Calcule uma aproximação para quantos segundos decorrem até que a concentração dessa substância atinja metade da sua concentração máxima, com um erro menor que 1 segundo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como a concentração de uma substância varia ao longo do tempo, dado por , onde é o tempo em minutos. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo, em segundos, leva para essa concentração atingir metade do seu ponto máximo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas para encontrar o ponto máximo da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o tempo que maximiza a concentração . Para isso, vamos calcular a derivada de em relação a e igualar a zero.
A derivada de é:
Igualando a derivada a zero:
Como nunca é zero, resolvemos:

Passo 3

Agora que sabemos que o tempo máximo ocorre em minutos, vamos calcular a concentração máxima :

Passo 4

Queremos saber quando a concentração atinge metade do máximo, ou seja:
Então, precisamos resolver:

Passo 5

Para resolver essa equação, podemos simplificar dividindo ambos os lados por 13:
Essa equação não tem solução algébrica simples, então vamos usar métodos numéricos ou uma calculadora para encontrar .

Passo 6

Aproximando, testamos valores próximos a minutos:
  • Para minutos:
(Que é menor que 0,55)
  • Para minuto:
(Próximo de 0,55)
Vamos tentar minutos:
Ainda maior que 0,55.
Continuando esse processo, encontramos que o valor de que satisfaz a equação está próximo a 3 minutos.

Passo 7

Usando uma calculadora ou software para resolver numericamente, descobrimos que:
Convertendo para segundos:

Resposta

Aproximadamente 221 segundos decorrem até que a concentração da substância atinja metade da sua concentração máxima, com um erro menor que 1 segundo.

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