Suponha que a concentração de uma certa substância varie no tempo da seguinte forma:
c(t)=13 t e^-t / 3
onde t é o tempo decorrido desde de um momento inicial, medido em minutos. Calcule uma aproximação para quantos segundos decorrem até que a concentração dessa substância atinja metade da sua concentração máxima, com um erro menor que 1 segundo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como a concentração de uma substância varia ao longo do tempo, dado por , onde é o tempo em minutos. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo, em segundos, leva para essa concentração atingir metade do seu ponto máximo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas para encontrar o ponto máximo da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o tempo c'(t) = 13 e^-t/3 + 13t (-13) e^-t/3 = 13 e^-t/3 (1 - t3) que maximiza a concentração 13 e^-t/3 (1 - t3) = 0 . Para isso, vamos calcular a derivada de 1 - t3 = 0 Rightarrow t = 3 minutos em relação a e igualar a zero.
A derivada de é:
Igualando a derivada a zero:
Como nunca é zero, resolvemos:

Passo 3

Agora que sabemos que o tempo máximo ocorre em cmax = 13 times 3 times e^-3/3 = 39 e^-1 approx 39 times 0,3679 approx 14,32 minutos, vamos calcular a concentração máxima :

Passo 4

Queremos saber quando a concentração atinge metade do máximo, ou seja:
cmax2 approx 14,322 approx 7,16
Então, precisamos resolver:
13t e^-t/3 = 7,16

Passo 5

Para resolver essa equação, podemos simplificar dividindo ambos os lados por 13:
t e^-t/3 approx 7,1613 approx 0,55
Essa equação não tem solução algébrica simples, então vamos usar métodos numéricos ou uma calculadora para encontrar .

Passo 6

Aproximando, testamos valores próximos a 2 e^-2/3 approx 2 times 0,5134 approx 1,0268 minutos:
  • Para 1 e^-1/3 approx 1 times 0,7165 approx 0,7165 minutos:
1,5 e^-1,5/3 approx 1,5 times 0,6065 approx 0,9098
(Que é menor que 0,55)
  • Para minuto:
(Próximo de 0,55)
Vamos tentar minutos:
Ainda maior que 0,55.
Continuando esse processo, encontramos que o valor de que satisfaz a equação está próximo a 3 minutos.

Passo 7

Usando uma calculadora ou software para resolver numericamente, descobrimos que:
t approx 3,69 minutos
Convertendo para segundos:
3,69 minutos times 60 approx 221,4 segundos

Resposta

Aproximadamente 221 segundos decorrem até que a concentração da substância atinja metade da sua concentração máxima, com um erro menor que 1 segundo.

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