Suponha que a concentração de uma certa substância varie no tempo da seguinte forma:
onde
é o tempo decorrido desde de um momento inicial, medido em minutos. Calcule uma aproximação para quantos segundos decorrem até que a concentração dessa substância atinja metade da sua concentração máxima, com um erro menor que 1 segundo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como a concentração de uma substância varia ao longo do tempo, dado por
, onde
é o tempo em minutos. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo, em segundos, leva para essa concentração atingir metade do seu ponto máximo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas para encontrar o ponto máximo da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o tempo
que maximiza a concentração
. Para isso, vamos calcular a derivada de
em relação a
e igualar a zero.
A derivada de
é:
Igualando a derivada a zero:
Como
nunca é zero, resolvemos:
Passo 3
Agora que sabemos que o tempo máximo ocorre em
minutos, vamos calcular a concentração máxima
:
Passo 4
Queremos saber quando a concentração atinge metade do máximo, ou seja:
Então, precisamos resolver:
Passo 5
Para resolver essa equação, podemos simplificar dividindo ambos os lados por 13:
Essa equação não tem solução algébrica simples, então vamos usar métodos numéricos ou uma calculadora para encontrar
.
Passo 6
Aproximando, testamos valores próximos a
minutos:
- Para
minutos:
(Que é menor que 0,55)
- Para
minuto:
(Próximo de 0,55)
Vamos tentar
minutos:
Ainda maior que 0,55.
Continuando esse processo, encontramos que o valor de
que satisfaz a equação está próximo a 3 minutos.
Passo 7
Usando uma calculadora ou software para resolver numericamente, descobrimos que:
Convertendo para segundos:
Resposta
Aproximadamente 221 segundos decorrem até que a concentração da substância atinja metade da sua concentração máxima, com um erro menor que 1 segundo.