Um polímero tem um tempo de relaxação de 100 dias a 27^circ C quando a tensão de 4,0 MPa é aplicada.
(a) Quantos dias serão necessários para que tensão diminua para 3,5 MPa?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o tempo de relaxação de um polímero quando uma tensão é aplicada. A gente vai precisar entender como a tensão diminui ao longo do tempo nesse material. Para isso, vamos usar a fórmula que relaciona a tensão inicial, a tensão final, o tempo de relaxação e o tempo que queremos encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é tempo de relaxação. É o tempo que o material leva para a tensão aplicada diminuir significativamente, geralmente pela metade ou outro valor característico. No nosso caso, o tempo de relaxação é de 100 dias quando uma tensão de 4,0 MPa é aplicada.

Passo 3

A relação entre a tensão inicial sigma0, a tensão final sigma(t), o tempo t e o tempo de relaxação tau é dada pela fórmula:
sigma(t) = sigma0 cdot e^-ttau
Aqui, e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,718.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar o tempo t necessário para que a tensão diminua de 4,0 MPa para 3,5 MPa. Vamos substituir os valores na fórmula:
3,5 = 4,0 cdot e^-t100

Passo 5

Para isolar e^-t100, dividimos os dois lados da equação por 4,0:
3,54,0 = e^-t100
0,875 = e^-t100

Passo 6

Agora, para resolver para t, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(0,875) = -t100

Passo 7

Calculamos o valor de ln(0,875):
ln(0,875) approx -0,1335
Então:
-0,1335 = -t100

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por -100 para resolver para t:
t = 0,1335 times 100
t approx 13,35 dias

Resposta

Serão necessários aproximadamente 13,4 dias para que a tensão diminua de 4,0 MPa para 3,5 MPa.

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