O polinômio p(x)=x^5-109 x^3+521 x tem cinco zeros reais no intervalo (-1,1). Considerando uma precisão varepsilon=10^-5, encontre cada raiz pelo método que se pede:
c) x3 in[-0.25,0,25] pelo método da bissecção.

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar uma das raízes do polinômio no intervalo usando o método da bissecção. Esse método faz parte dos métodos numéricos para encontrar raízes de funções contínuas. Precisamos seguir uma sequência de passos para chegar à solução com precisão .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método da bissecção. Esse método é usado para encontrar raízes de funções contínuas em um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Isso garante, pela Teorema de Bolzano, que existe pelo menos uma raiz no intervalo .

Passo 3

Vamos verificar se o polinômio p(-0,25) = (-0,25)^5 - 109(-0,25)^3 + 521(-0,25) approx -0,0009766 + 0,0173611 - 0,0595238 approx -0,0431393 realmente muda de sinal no intervalo p(0,25) = (0,25)^5 - 109(0,25)^3 + 521(0,25) approx 0,0009766 - 0,0173611 + 0,0595238 approx 0,0431393 . Calculamos:
Como é negativo e é positivo, há uma raiz no intervalo .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da bissecção. O processo é o seguinte:
  1. Calcular o ponto médio do intervalo.
  2. Avaliar .
  3. Verificar em qual subintervalo ou a função muda de sinal.
  4. Repetir o processo no subintervalo selecionado até que a largura do intervalo seja menor que .

Passo 5

Vamos iniciar as iterações:
Iteração 1:
  • ,
Como , encontramos a raiz exata . Porém, para fins didáticos, vamos supor que e continuar o processo.
Iteração 2:
  • Supondo , verificamos o sinal de . Se , a raiz está em ; se , está em .
  • Vamos dizer que , então atualizamos .
Iteração 3:
  • ,
  • é calculado e verificamos o sinal para continuar.
Repetimos esse processo, sempre atualizando o intervalo com base no sinal de , até que .

Resposta

Após aplicar o método da bissecção com precisão , a raiz no intervalo é aproximadamente .

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