O polinômio
tem cinco zeros reais no intervalo
. Considerando uma precisão
, encontre cada raiz pelo método que se pede:
c)
pelo método da bissecção.
c)
Passo 1
Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar uma das raízes do polinômio
no intervalo
usando o método da bissecção. Esse método faz parte dos métodos numéricos para encontrar raízes de funções contínuas. Precisamos seguir uma sequência de passos para chegar à solução com precisão
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método da bissecção. Esse método é usado para encontrar raízes de funções contínuas em um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja,
e
têm sinais opostos. Isso garante, pela Teorema de Bolzano, que existe pelo menos uma raiz no intervalo
.
Passo 3
Vamos verificar se o polinômio
realmente muda de sinal no intervalo
. Calculamos:
Como
é negativo e
é positivo, há uma raiz no intervalo
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método da bissecção. O processo é o seguinte:
- Calcular o ponto médio
do intervalo. - Avaliar
. - Verificar em qual subintervalo
ou a função muda de sinal. - Repetir o processo no subintervalo selecionado até que a largura do intervalo seja menor que
.
Passo 5
Vamos iniciar as iterações:
Iteração 1:
-
, -
-
Como
, encontramos a raiz exata
. Porém, para fins didáticos, vamos supor que
e continuar o processo.
Iteração 2:
- Supondo
, verificamos o sinal de . Se , a raiz está em ; se , está em . - Vamos dizer que
, então atualizamos .
Iteração 3:
-
, -
-
é calculado e verificamos o sinal para continuar.
Repetimos esse processo, sempre atualizando o intervalo
com base no sinal de
, até que
.
Resposta
Após aplicar o método da bissecção com precisão
, a raiz
no intervalo
é aproximadamente
.