O polinômio tem seus cinco zeros reais, todos no intervalo
b) Encontre, pelo método de Newton Raphson, duas das raízes, usando ou no máximo 6 interações.
: Newton Raphson
: Newton Raphson

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos pede para encontrar duas raízes do polinômio usando o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica numérica para aproximar raízes de funções. Vamos precisar entender como aplicar esse método, que envolve derivadas e iterações até chegarmos a um valor suficientemente preciso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o método de Newton-Raphson. A ideia principal é começar com uma estimativa inicial da raiz, , e então usar a seguinte fórmula para encontrar uma melhor aproximação:
Aqui, é a derivada de . Repetimos esse processo até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que ou até atingirmos o máximo de 6 iterações.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada de . Vamos derivar termo a termo:
Derivando, temos:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método de Newton-Raphson para com .
Iteração 1:
Calculamos :
Calculamos :
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:

Passo 5

Iteração 2:
Calculamos :
Calculamos :
Aplicando a fórmula:
Como a diferença entre e é menor que , podemos parar aqui para .

Passo 6

Agora, vamos encontrar usando .
Iteração 1:
Calculamos :
Calculamos :
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:

Passo 7

Iteração 2:
Calculamos :
Calculamos :
Aplicando a fórmula:
Como a diferença entre e é menor que , podemos parar aqui para .

Resposta

As aproximações das raízes encontradas pelo método de Newton-Raphson são:

Exercícios relacionados

Um tanque contém 20 Kg de sal dissolvido em 5000 L de água. A partir do instante de tempo , uma quantidade conhecida de água salgada passa a ser despejada no tanque a uma certa taxa. A solução é misturada completamente e a mistura saí do tanque na mesma taxa que entrou. Seja a quantidade de sal (em Kg ) no tanque depois de minutos. Sabe-se que satisfaz o seguinte problema de valor inicial:
Use dois passos do método de Runge-Kutta de ordem para determinar a quantidade de sal no tanque em minutos.
Use o método de Euler modificado para encontrar aproximações das soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial e compare os resultados com a solução exata.
(b) , com .
Solução exata: .
Determine aproximadamente o erro relativo ( em %) que se comete ao considerar a expansão com o truncamento que segue em relação ao valor correto 0,548121409,
(a)
(b)
©
(d)
(e) Não sei
Utilize interpolação polinomial de Lagrange de grau 3 para aproximar os seguintes pontos:
b) Determine