O polinômio p(x)=x^5-109 x^3+521 x tem seus cinco zeros reais, todos no intervalo (-1,1)
b) Encontre, pelo método de Newton Raphson, duas das raízes, usando epsilon=10^-3 ou no máximo 6 interações.
x2 : Newton Raphson (x0=-0,5)
x3 : Newton Raphson (x0=0,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos pede para encontrar duas raízes do polinômio usando o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica numérica para aproximar raízes de funções. Vamos precisar entender como aplicar esse método, que envolve derivadas e iterações até chegarmos a um valor suficientemente preciso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o método de Newton-Raphson. A ideia principal é começar com uma estimativa inicial da raiz, xn+1 = xn - p(xn)p'(xn) , e então usar a seguinte fórmula para encontrar uma melhor aproximação:
Aqui, é a derivada de . Repetimos esse processo até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que ou até atingirmos o máximo de 6 iterações.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada de p(x) = x^5 - 109x^3 + 521x . Vamos derivar termo a termo:
p'(x) = 5x^4 - 309x^2 + 521
Derivando, temos:
p'(x) = 5x^4 - 103x^2 + 521

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método de Newton-Raphson para x0 = -0,5 com p(-0,5) = (-0,5)^5 - 109(-0,5)^3 + 521(-0,5) = -0,03125 + 0,1389 - 0,1190 = -0,0114 .
Iteração 1:
p'(-0,5) = 5(-0,5)^4 - 103(-0,5)^2 + 521 = 5(0,0625) - 103(0,25) + 0,2381 = 0,3125 - 0,8333 + 0,2381 = -0,2827
Calculamos x1 = x0 - p(x0)p'(x0) = -0,5 - -0,0114-0,2827 = -0,5 - 0,0403 = -0,5403 :
Calculamos :
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:

Passo 5

Iteração 2:
x1 = -0,5403
Calculamos p(-0,5403) approx (-0,5403)^5 - 109(-0,5403)^3 + 521(-0,5403) approx -0,0420 + 0,1793 - 0,1286 = 0,0087 :
p'(-0,5403) approx 5(-0,5403)^4 - 103(-0,5403)^2 + 521 approx 5(0,0857) - 103(0,2919) + 0,2381 approx 0,4285 - 0,9730 + 0,2381 = -0,3064
Calculamos x2 = x1 - p(x1)p'(x1) = -0,5403 - 0,0087-0,3064 approx -0,5403 + 0,0284 = -0,5119 :
Aplicando a fórmula:
Como a diferença entre e é menor que , podemos parar aqui para .

Passo 6

Agora, vamos encontrar x0 = 0,5 usando p(0,5) = (0,5)^5 - 109(0,5)^3 + 521(0,5) = 0,03125 - 0,1389 + 0,1190 = 0,0114 .
Iteração 1:
p'(0,5) = 5(0,5)^4 - 103(0,5)^2 + 521 = 5(0,0625) - 103(0,25) + 0,2381 = 0,3125 - 0,8333 + 0,2381 = -0,2827
Calculamos x1 = x0 - p(x0)p'(x0) = 0,5 - 0,0114-0,2827 = 0,5 + 0,0403 = 0,5403 :
Calculamos :
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:

Passo 7

Iteração 2:
x1 = 0,5403
Calculamos p(0,5403) approx (0,5403)^5 - 109(0,5403)^3 + 521(0,5403) approx 0,0420 - 0,1793 + 0,1286 = -0,0087 :
p'(0,5403) approx 5(0,5403)^4 - 103(0,5403)^2 + 521 approx 5(0,0857) - 103(0,2919) + 0,2381 approx 0,4285 - 0,9730 + 0,2381 = -0,3064
Calculamos x2 = x1 - p(x1)p'(x1) = 0,5403 - -0,0087-0,3064 approx 0,5403 - 0,0284 = 0,5119 :
Aplicando a fórmula:
Como a diferença entre e é menor que , podemos parar aqui para .

Resposta

As aproximações das raízes encontradas pelo método de Newton-Raphson são:
x2 approx -0,5119
x3 approx 0,5119

Exercícios relacionados