O polinômio
tem seus cinco zeros reais, todos no intervalo
b) Encontre, pelo método de Newton Raphson, duas das raízes, usando
ou no máximo 6 interações.
: Newton Raphson
: Newton Raphson
b) Encontre, pelo método de Newton Raphson, duas das raízes, usando
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos pede para encontrar duas raízes do polinômio
usando o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica numérica para aproximar raízes de funções. Vamos precisar entender como aplicar esse método, que envolve derivadas e iterações até chegarmos a um valor suficientemente preciso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona o método de Newton-Raphson. A ideia principal é começar com uma estimativa inicial da raiz,
, e então usar a seguinte fórmula para encontrar uma melhor aproximação:
Aqui,
é a derivada de
. Repetimos esse processo até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que
ou até atingirmos o máximo de 6 iterações.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada de
. Vamos derivar termo a termo:
Derivando, temos:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método de Newton-Raphson para
com
.
Iteração 1:
Calculamos
:
Calculamos
:
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Passo 5
Iteração 2:
Calculamos
:
Calculamos
:
Aplicando a fórmula:
Como a diferença entre
e
é menor que
, podemos parar aqui para
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar
usando
.
Iteração 1:
Calculamos
:
Calculamos
:
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
Passo 7
Iteração 2:
Calculamos
:
Calculamos
:
Aplicando a fórmula:
Como a diferença entre
e
é menor que
, podemos parar aqui para
.
Resposta
As aproximações das raízes encontradas pelo método de Newton-Raphson são:
Exercícios relacionados
Um tanque contém 20 Kg de sal dissolvido em 5000 L de água. A partir do instante de tempo
, uma quantidade conhecida de água salgada passa a ser despejada no tanque a uma certa taxa. A solução é misturada completamente e a mistura saí do tanque na mesma taxa que entrou. Seja
a quantidade de sal (em Kg ) no tanque depois de
minutos. Sabe-se que
satisfaz o seguinte problema de valor inicial:
Use dois passos do método de Runge-Kutta de
ordem para determinar a quantidade de sal no tanque em
minutos.
Use o método de Euler modificado para encontrar aproximações das soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial e compare os resultados com a solução exata.
(b) , com
.
Solução exata: .
(b)
Solução exata:
Determine aproximadamente o erro relativo ( em %) que se comete ao considerar a expansão com o truncamento que segue em relação ao valor correto
0,548121409,
(a)
(b)
©
(d)
(e) Não sei
(b)
©
(d)
(e) Não sei
Utilize interpolação polinomial de Lagrange de grau 3 para aproximar os seguintes pontos:
b) Determine
b) Determine