Use o método de Euler modificado para encontrar aproximações das soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial e compare os resultados com a solução exata.
(b) y^prime=1+y / t, 1 <= t <= 2, y(1)=2, com h=0,25.
Solução exata: y(t)=t cdot ln (t)+2 cdot t.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial inicial:
y' = 1 + yt, com y(1) = 2
Queremos encontrar aproximações para a solução dessa equação no intervalo de y(t) = t cdot ln(t) + 2t usando o método de Euler modificado com um passo . Além disso, vamos comparar nossos resultados com a solução exata, que é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como o método de Euler modificado funciona e aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Euler modificado. É uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. Ao contrário do método de Euler simples, que utiliza apenas a inclinação no ponto inicial do intervalo, o método modificado faz uma média das inclinações no início e no final do intervalo para melhorar a precisão.
A fórmula geral do método de Euler modificado é:
yn+1 = yn + h2 [ f(tn, yn) + f(tn + h, yn + h cdot f(tn, yn)) ]
Onde:
  • é a aproximação da solução no ponto .
  • é o passo.
  • é a função que define a equação diferencial .
Vamos começar com o ponto inicial e .

Passo 3

Primeira iteração ( f(t0, y0) = 1 + y0t0 = 1 + 21 = 3 )
Vamos calcular yprevisão = y0 + h cdot f(t0, y0) = 2 + 0,25 cdot 3 = 2 + 0,75 = 2,75 em f(1,25, 2,75) = 1 + 2,751,25 = 3,751,25 = 3 .
  1. Calcular y1 = y0 + h2 [ f(t0, y0) + f(t0 + h, yprevisão) ] = 2 + 0,252 (3 + 3) = 2 + 0,125 cdot 6 = 2 + 0,75 = 2,75 :
  1. Previsão (Euler simples):
ã
  1. Calcular ã:
  1. Aplicar o método de Euler modificado:
ã
Então, .

Passo 4

Segunda iteração ( f(1,25, 2,75) = 1 + 2,751,25 = 3 )
Agora, vamos calcular yprevisão = y1 + h cdot f(t1, y1) = 2,75 + 0,25 cdot 3 = 2,75 + 0,75 = 3,5 em f(1,5, 3,5) = 1 + 3,51,5 = 4,51,5 = 3 .
  1. Calcular y2 = y1 + h2 [ f(t1, y1) + f(t1 + h, yprevisão) ] = 2,75 + 0,252 (3 + 3) = 2,75 + 0,125 cdot 6 = 2,75 + 0,75 = 3,5 :
  1. Previsão (Euler simples):
ã
  1. Calcular ã:
  1. Aplicar o método de Euler modificado:
ã
Então, .

Passo 5

Terceira iteração ( f(1,5, 3,5) = 1 + 3,51,5 = 3 )
Vamos calcular yprevisão = y2 + h cdot f(t2, y2) = 3,5 + 0,25 cdot 3 = 3,5 + 0,75 = 4,25 em f(1,75, 4,25) = 1 + 4,251,75 = 5,251,75 = 3 .
  1. Calcular y3 = y2 + h2 [ f(t2, y2) + f(t2 + h, yprevisão) ] = 3,5 + 0,252 (3 + 3) = 3,5 + 0,125 cdot 6 = 3,5 + 0,75 = 4,25 :
  1. Previsão (Euler simples):
ã
  1. Calcular ã:
  1. Aplicar o método de Euler modificado:
ã
Então, .

Passo 6

Quarta iteração ( f(1,75, 4,25) = 1 + 4,251,75 = 3 )
Finalmente, vamos calcular yprevisão = y3 + h cdot f(t3, y3) = 4,25 + 0,25 cdot 3 = 4,25 + 0,75 = 5 em f(2, 5) = 1 + 52 = 62 = 3 .
  1. Calcular y4 = y3 + h2 [ f(t3, y3) + f(t3 + h, yprevisão) ] = 4,25 + 0,252 (3 + 3) = 4,25 + 0,125 cdot 6 = 4,25 + 0,75 = 5 :
  1. Previsão (Euler simples):
ã
  1. Calcular ã:
  1. Aplicar o método de Euler modificado:
ã
Então, .

Passo 7

Agora, vamos comparar nossas aproximações com a solução exata y(1,25) = 1,25 cdot ln(1,25) + 2 cdot 1,25 approx 1,25 cdot 0,2231 + 2,5 approx 0,2789 + 2,5 = 2,7789 . Vamos calcular y(1,5) = 1,5 cdot ln(1,5) + 2 cdot 1,5 approx 1,5 cdot 0,4055 + 3 = 0,6083 + 3 = 3,6083 nos pontos y(1,75) = 1,75 cdot ln(1,75) + 2 cdot 1,75 approx 1,75 cdot 0,5596 + 3,5 approx 0,9793 + 3,5 = 4,4793 , y(2) = 2 cdot ln(2) + 2 cdot 2 approx 2 cdot 0,6931 + 4 approx 1,3862 + 4 = 5,3862 , , e .
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Aqui estão as aproximações obtidas pelo método de Euler modificado e os valores da solução exata para cada ponto:
|c|c|c| hline t & Eu<=r Modificado & Solução Exata hline 1,25 & 2,75 & approx 2,7789 1,5 & 3,5 & approx 3,6083 1,75 & 4,25 & approx 4,4793 2 & 5 & approx 5,3862 hline çã
Como podemos ver, as aproximações do método de Euler modificado estão bem próximas dos valores exatos, demonstrando a eficiência desse método para resolver equações diferenciais iniciais.

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