Use o método de Euler modificado para encontrar aproximações das soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial e compare os resultados com a solução exata.
(b)
, com
.
Solução exata:
.
(b)
Solução exata:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial inicial:
Queremos encontrar aproximações para a solução dessa equação no intervalo de
usando o método de Euler modificado com um passo
. Além disso, vamos comparar nossos resultados com a solução exata, que é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como o método de Euler modificado funciona e aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Euler modificado. É uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. Ao contrário do método de Euler simples, que utiliza apenas a inclinação no ponto inicial do intervalo, o método modificado faz uma média das inclinações no início e no final do intervalo para melhorar a precisão.
A fórmula geral do método de Euler modificado é:
Onde:
-
é a aproximação da solução no ponto . -
é o passo. -
é a função que define a equação diferencial .
Vamos começar com o ponto inicial
e
.
Passo 3
Primeira iteração (
)
Vamos calcular
em
.
- Calcular
:
- Previsão (Euler simples):
- Calcular
:
- Aplicar o método de Euler modificado:
Então,
.
Passo 4
Segunda iteração (
)
Agora, vamos calcular
em
.
- Calcular
:
- Previsão (Euler simples):
- Calcular
:
- Aplicar o método de Euler modificado:
Então,
.
Passo 5
Terceira iteração (
)
Vamos calcular
em
.
- Calcular
:
- Previsão (Euler simples):
- Calcular
:
- Aplicar o método de Euler modificado:
Então,
.
Passo 6
Quarta iteração (
)
Finalmente, vamos calcular
em
.
- Calcular
:
- Previsão (Euler simples):
- Calcular
:
- Aplicar o método de Euler modificado:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos comparar nossas aproximações com a solução exata
. Vamos calcular
nos pontos
,
,
, e
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Aqui estão as aproximações obtidas pelo método de Euler modificado e os valores da solução exata para cada ponto:
Como podemos ver, as aproximações do método de Euler modificado estão bem próximas dos valores exatos, demonstrando a eficiência desse método para resolver equações diferenciais iniciais.
Exercícios relacionados
Use o método de Euler modificado para encontrar aproximações das soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial e compare os resultados com a solução exata.
(a) .
Solução exata: .
(a)
Solução exata:
Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial.
(b) , com
.
(b)
Um tanque contém 20 Kg de sal dissolvido em 5000 L de água. A partir do instante de tempo
, uma quantidade conhecida de água salgada passa a ser despejada no tanque a uma certa taxa. A solução é misturada completamente e a mistura saí do tanque na mesma taxa que entrou. Seja
a quantidade de sal (em Kg ) no tanque depois de
minutos. Sabe-se que
satisfaz o seguinte problema de valor inicial:
Use dois passos do método de Runge-Kutta de
ordem para determinar a quantidade de sal no tanque em
minutos.
O polinômio
tem seus cinco zeros reais, todos no intervalo
b) Encontre, pelo método de Newton Raphson, duas das raízes, usando ou no máximo 6 interações.
: Newton Raphson
: Newton Raphson
b) Encontre, pelo método de Newton Raphson, duas das raízes, usando