Use o método de Euler modificado para encontrar aproximações das soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial e compare os resultados com a solução exata.
(b) , com .
Solução exata: .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial inicial:
Queremos encontrar aproximações para a solução dessa equação no intervalo de usando o método de Euler modificado com um passo . Além disso, vamos comparar nossos resultados com a solução exata, que é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como o método de Euler modificado funciona e aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Euler modificado. É uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. Ao contrário do método de Euler simples, que utiliza apenas a inclinação no ponto inicial do intervalo, o método modificado faz uma média das inclinações no início e no final do intervalo para melhorar a precisão.
A fórmula geral do método de Euler modificado é:
Onde:
  • é a aproximação da solução no ponto .
  • é o passo.
  • é a função que define a equação diferencial .
Vamos começar com o ponto inicial e .

Passo 3

Primeira iteração ( )
Vamos calcular em .
  1. Calcular :
  1. Previsão (Euler simples):
ã
  1. Calcular ã:
  1. Aplicar o método de Euler modificado:
ã
Então, .

Passo 4

Segunda iteração ( )
Agora, vamos calcular em .
  1. Calcular :
  1. Previsão (Euler simples):
ã
  1. Calcular ã:
  1. Aplicar o método de Euler modificado:
ã
Então, .

Passo 5

Terceira iteração ( )
Vamos calcular em .
  1. Calcular :
  1. Previsão (Euler simples):
ã
  1. Calcular ã:
  1. Aplicar o método de Euler modificado:
ã
Então, .

Passo 6

Quarta iteração ( )
Finalmente, vamos calcular em .
  1. Calcular :
  1. Previsão (Euler simples):
ã
  1. Calcular ã:
  1. Aplicar o método de Euler modificado:
ã
Então, .

Passo 7

Agora, vamos comparar nossas aproximações com a solução exata . Vamos calcular nos pontos , , , e .
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Aqui estão as aproximações obtidas pelo método de Euler modificado e os valores da solução exata para cada ponto:
çã
Como podemos ver, as aproximações do método de Euler modificado estão bem próximas dos valores exatos, demonstrando a eficiência desse método para resolver equações diferenciais iniciais.

Exercícios relacionados

Use o método de Euler modificado para encontrar aproximações das soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial e compare os resultados com a solução exata.
(a) .
Solução exata: .
Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial.
(b) , com .
Um tanque contém 20 Kg de sal dissolvido em 5000 L de água. A partir do instante de tempo , uma quantidade conhecida de água salgada passa a ser despejada no tanque a uma certa taxa. A solução é misturada completamente e a mistura saí do tanque na mesma taxa que entrou. Seja a quantidade de sal (em Kg ) no tanque depois de minutos. Sabe-se que satisfaz o seguinte problema de valor inicial:
Use dois passos do método de Runge-Kutta de ordem para determinar a quantidade de sal no tanque em minutos.
O polinômio tem seus cinco zeros reais, todos no intervalo
b) Encontre, pelo método de Newton Raphson, duas das raízes, usando ou no máximo 6 interações.
: Newton Raphson
: Newton Raphson