Use o método de Euler modificado para encontrar aproximações das soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial e compare os resultados com a solução exata.
(b)
, com
.
Solução exata:
.
(b)
Solução exata:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial inicial:
Queremos encontrar aproximações para a solução dessa equação no intervalo de
usando o método de Euler modificado com um passo
. Além disso, vamos comparar nossos resultados com a solução exata, que é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como o método de Euler modificado funciona e aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Euler modificado. É uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. Ao contrário do método de Euler simples, que utiliza apenas a inclinação no ponto inicial do intervalo, o método modificado faz uma média das inclinações no início e no final do intervalo para melhorar a precisão.
A fórmula geral do método de Euler modificado é:
Onde:
-
é a aproximação da solução no ponto . -
é o passo. -
é a função que define a equação diferencial .
Vamos começar com o ponto inicial
e
.
Passo 3
Primeira iteração (
)
Vamos calcular
em
.
- Calcular
:
- Previsão (Euler simples):
- Calcular
:
- Aplicar o método de Euler modificado:
Então,
.
Passo 4
Segunda iteração (
)
Agora, vamos calcular
em
.
- Calcular
:
- Previsão (Euler simples):
- Calcular
:
- Aplicar o método de Euler modificado:
Então,
.
Passo 5
Terceira iteração (
)
Vamos calcular
em
.
- Calcular
:
- Previsão (Euler simples):
- Calcular
:
- Aplicar o método de Euler modificado:
Então,
.
Passo 6
Quarta iteração (
)
Finalmente, vamos calcular
em
.
- Calcular
:
- Previsão (Euler simples):
- Calcular
:
- Aplicar o método de Euler modificado:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos comparar nossas aproximações com a solução exata
. Vamos calcular
nos pontos
,
,
, e
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Aqui estão as aproximações obtidas pelo método de Euler modificado e os valores da solução exata para cada ponto:
Como podemos ver, as aproximações do método de Euler modificado estão bem próximas dos valores exatos, demonstrando a eficiência desse método para resolver equações diferenciais iniciais.