Um tanque contém 20 Kg de sal dissolvido em 5000 L de água. A partir do instante de tempo t=0, uma quantidade conhecida de água salgada passa a ser despejada no tanque a uma certa taxa. A solução é misturada completamente e a mistura saí do tanque na mesma taxa que entrou. Seja y(t) a quantidade de sal (em Kg ) no tanque depois de t minutos. Sabe-se que y(t) satisfaz o seguinte problema de valor inicial:
l y^prime(t)=150-y(t)200 y(0)=20
Use dois passos do método de Runge-Kutta de 4^ a ordem para determinar a quantidade de sal no tanque em t=12 minutos.

Passo 1

Então, pessoal, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque com 20 kg de sal dissolvido em 5000 litros de água. A partir do tempo y^prime(t)=150 - y(t)200 y(0) = 20 , a água salgada entra e sai do tanque na mesma taxa, mantendo a mistura sempre homogênea. Queremos descobrir quanto sal, , há no tanque após 12 minutos usando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem com dois passos.
Vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais e especificamente aplicar o método de Runge-Kutta de 4ª ordem para resolver a equação dada:

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é o método de Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4). É um método numérico para resolver equações diferenciais ordinárias (EDOs) que nos dá uma aproximação bastante precisa do valor da função após um certo passo de tempo.
A fórmula geral do RK4 para avançar uma solução de k1 &= f(tn, yn) k2 &= f(tn + h2, yn + h2k1) k3 &= f(tn + h2, yn + h2k2) k4 &= f(tn + h, yn + hk3) yn+1 &= yn + h6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) para com passo é:
Aqui, é a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que vamos usar. A equação dada é:
y^prime(t) = 150 - y(t)200
Então, nossa função f(t, y) = 150 - y200 é:
h = 122 = 6 minutos
Precisamos definir o passo . Como queremos chegar a minutos em dois passos, cada passo será:

Passo 4

Vamos iniciar a aplicação do método RK4.
Passo Inicial:
t0 = 0, y0 = 20
Objetivo:
Calcular k1 = f(t0, y0) = 150 - 20200 = 130200 = 0,65 e k2 = f(t0 + h2, y0 + h2k1) = f(3, 20 + 3 times 0,65) = f(3, 21,95) = 150 - 21,95200 = 128,05200 = 0,64025 usando dois passos de RK4 com k3 = f(t0 + h2, y0 + h2k2) = f(3, 20 + 3 times 0,64025) = f(3, 20 + 1,92075) = f(3, 21,92075) = 150 - 21,92075200 = 128,07925200 = 0,64039625 .

Primeiro Passo (de k4 = f(t0 + h, y0 + h k3) = f(6, 20 + 6 times 0,64039625) = f(6, 20 + 3,8423775) = f(6, 23,8423775) = 150 - 23,8423775200 = 126,1576225200 = 0,6307881125 para y1 = y0 + h6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) = 20 + 66(0,65 + 2 times 0,64025 + 2 times 0,64039625 + 0,6307881125) ):

  1. Calcular y1 = 20 + (0,65 + 1,2805 + 1,2807925 + 0,6307881125) = 20 + 3,8410806125 = 23,8410806125 kg :
k1 = f(t1, y1) = 150 - 23,8410806125200 = 126,1589193875200 = 0,6307945969375
  1. Calcular k2 = f(t1 + h2, y1 + h2k1) = f(9, 23,8410806125 + 3 times 0,6307945969375) = f(9, 23,8410806125 + 1,8923837908125) = f(9, 25,7334644033125) :
= 150 - 25,7334644033125200 = 124,2665355966875200 = 0,6213326779834375
  1. Calcular k3 = f(t1 + h2, y1 + h2k2) = f(9, 23,8410806125 + 3 times 0,6213326779834375) = f(9, 23,8410806125 + 1,864 dots) = f(9, 25,7054132906) :
= 150 - 25,7054132906200 = 124,2945867094200 = 0,621472933547
  1. Calcular k4 = f(t1 + h, y1 + h k3) = f(12, 23,8410806125 + 6 times 0,621472933547) = f(12, 23,8410806125 + 3,728837601282) = f(12, 27,5699182139) :
= 150 - 27,5699182139200 = 122,4300817861200 = 0,6121504089305
  1. Atualizar y2 = y1 + h6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) = 23,8410806125 + 66(0,6307945969375 + 2 times 0,6213326779834375 + 2 times 0,621472933547 + 0,6121504089305) :
y2 = 23,8410806125 + (0,6307945969375 + 1,242665355966875 + 1,242945867094 + 0,6121504089305) = 23,8410806125 + 3,728555272938 approx 27,5696358854 kg
Simplificando:

Segundo Passo (de para ):

Agora, usamos e .
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Atualizar :
Simplificando:

Resposta

Após dois passos do método de Runge-Kutta de 4ª ordem, a quantidade de sal no tanque em minutos é aproximadamente 27,57 kg.

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