Um tanque contém 20 Kg de sal dissolvido em 5000 L de água. A partir do instante de tempo
, uma quantidade conhecida de água salgada passa a ser despejada no tanque a uma certa taxa. A solução é misturada completamente e a mistura saí do tanque na mesma taxa que entrou. Seja
a quantidade de sal (em Kg ) no tanque depois de
minutos. Sabe-se que
satisfaz o seguinte problema de valor inicial:
Use dois passos do método de Runge-Kutta de
ordem para determinar a quantidade de sal no tanque em
minutos.
Passo 1
Então, pessoal, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque com 20 kg de sal dissolvido em 5000 litros de água. A partir do tempo
, a água salgada entra e sai do tanque na mesma taxa, mantendo a mistura sempre homogênea. Queremos descobrir quanto sal,
, há no tanque após 12 minutos usando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem com dois passos.
Vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais e especificamente aplicar o método de Runge-Kutta de 4ª ordem para resolver a equação dada:
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é o método de Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4). É um método numérico para resolver equações diferenciais ordinárias (EDOs) que nos dá uma aproximação bastante precisa do valor da função após um certo passo de tempo.
A fórmula geral do RK4 para avançar uma solução de
para
com passo
é:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores que vamos usar. A equação dada é:
Então, nossa função
é:
Precisamos definir o passo
. Como queremos chegar a
minutos em dois passos, cada passo será:
Passo 4
Vamos iniciar a aplicação do método RK4.
Passo Inicial:
Objetivo:
Calcular e
usando dois passos de RK4 com
.
Calcular
Primeiro Passo (de
para
):
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Atualizar
:
Simplificando:
Segundo Passo (de
para
):
Agora, usamos
e
.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Atualizar
:
Simplificando:
Resposta
Após dois passos do método de Runge-Kutta de 4ª ordem, a quantidade de sal no tanque em
minutos é aproximadamente 27,57 kg.
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.
Solução exata: .
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(d)
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