Um tanque contém 20 Kg de sal dissolvido em 5000 L de água. A partir do instante de tempo , uma quantidade conhecida de água salgada passa a ser despejada no tanque a uma certa taxa. A solução é misturada completamente e a mistura saí do tanque na mesma taxa que entrou. Seja a quantidade de sal (em Kg ) no tanque depois de minutos. Sabe-se que satisfaz o seguinte problema de valor inicial:
Use dois passos do método de Runge-Kutta de ordem para determinar a quantidade de sal no tanque em minutos.

Passo 1

Então, pessoal, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque com 20 kg de sal dissolvido em 5000 litros de água. A partir do tempo , a água salgada entra e sai do tanque na mesma taxa, mantendo a mistura sempre homogênea. Queremos descobrir quanto sal, , há no tanque após 12 minutos usando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem com dois passos.
Vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais e especificamente aplicar o método de Runge-Kutta de 4ª ordem para resolver a equação dada:

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é o método de Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4). É um método numérico para resolver equações diferenciais ordinárias (EDOs) que nos dá uma aproximação bastante precisa do valor da função após um certo passo de tempo.
A fórmula geral do RK4 para avançar uma solução de para com passo é:
Aqui, é a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que vamos usar. A equação dada é:
Então, nossa função é:
Precisamos definir o passo . Como queremos chegar a minutos em dois passos, cada passo será:

Passo 4

Vamos iniciar a aplicação do método RK4.
Passo Inicial:
Objetivo:
Calcular e usando dois passos de RK4 com .

Primeiro Passo (de para ):

  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Atualizar :
Simplificando:

Segundo Passo (de para ):

Agora, usamos e .
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Atualizar :
Simplificando:

Resposta

Após dois passos do método de Runge-Kutta de 4ª ordem, a quantidade de sal no tanque em minutos é aproximadamente 27,57 kg.

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