( 0,5 ponto) Mostre que
|x|infty <=|x|1 <= n|x|infty, x in R^n

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que, para qualquer vetor em , a norma infinita de é menor ou igual à norma 1 de , que por sua vez é menor ou igual a vezes a norma infinita de . Para resolver isso, vamos usar as definições dessas normas e comparar seus valores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as definições das normas envolvidas:
  • Norma 1 ( |x|1 = sumi=1^n |xi| ): É a soma dos valores absolutos dos componentes de |x|infty = max1 <= i <= n |xi| .
  • Norma infinita ( ): É o maior valor absoluto entre os componentes de .

Passo 3

Vamos primeiro mostrar que |xi| <= |x|infty para todo i = 1, 2, dots, n .
Sabemos que |x|1 = sumi=1^n |xi| >= |x|infty é o maior valor entre os . Portanto, cada componente é menor ou igual a :
Somando todos esses valores:

Passo 4

Agora, vamos mostrar que |xi| <= |x|infty para todo i = 1, 2, dots, n .
Como cada |x|1 = sumi=1^n |xi| <= sumi=1^n |x|infty = n |x|infty é menor ou igual a , temos:
Somando todos esses valores:

Resposta

Portanto, mostramos que:
|x|infty <= |x|1 <= n|x|infty

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