A série de Maclaurin para é uma expansâo em potencias de e pode ser derivada a partir da fórmula geral da série de Taylor. Para , a série de Maclaurin é dada por:
Determine o numero de termos necessários para aproximar ate 8 algarismos significativos usando a aproximaçāo por série de Maclaurin
Calcule a aproximação usando um valor de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a série de Maclaurin para a função . A gente precisa descobrir quantos termos dessa série a gente precisa somar para aproximar com 8 algarismos significativos quando . Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e erro de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Maclaurin para . Ela é uma expansão em potências de dada por:
Isso significa que podemos aproximar somando termos dessa série até obter a precisão desejada.

Passo 3

Nosso objetivo é ter uma aproximação com 8 algarismos significativos. Para isso, precisamos garantir que o próximo termo da série que não estamos somando seja menor que (já que o erro deve ser menor que metade do valor do último algarismo significativo).

Passo 4

Vamos calcular os termos da série até que o valor absoluto de um termo seja menor que . O termo geral da série é:
Como estamos interessados no valor absoluto, podemos ignorar o :

Passo 5

Substituindo na expressão do termo geral:
Queremos encontrar o menor tal que .

Passo 6

Vamos calcular os termos passo a passo:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Observamos que para , o termo ainda é maior que . Portanto, precisamos calcular mais termos.
Para :

Passo 8

Agora, para , o termo ainda é maior que . Assim, precisamos verificar se já atingimos a precisão desejada:
Como , podemos parar aqui. Isso significa que somando até o termo , a aproximação de terá 8 algarismos significativos.

Resposta

São necessários 6 termos da série de Maclaurin para aproximar com precisão de 8 algarismos significativos.

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