A série de Maclaurin para
é uma expansâo em potencias de
e pode ser derivada a partir da fórmula geral da série de Taylor. Para
, a série de Maclaurin é dada por:
Determine o numero de termos necessários para aproximar
ate 8 algarismos significativos usando a aproximaçāo por série de Maclaurin
Calcule a aproximação usando um valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a série de Maclaurin para a função
. A gente precisa descobrir quantos termos dessa série a gente precisa somar para aproximar
com 8 algarismos significativos quando
. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e erro de aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Maclaurin para
. Ela é uma expansão em potências de
dada por:
Isso significa que podemos aproximar
somando termos dessa série até obter a precisão desejada.
Passo 3
Nosso objetivo é ter uma aproximação com 8 algarismos significativos. Para isso, precisamos garantir que o próximo termo da série que não estamos somando seja menor que
(já que o erro deve ser menor que metade do valor do último algarismo significativo).
Passo 4
Vamos calcular os termos da série até que o valor absoluto de um termo seja menor que
. O termo geral da série é:
Como estamos interessados no valor absoluto, podemos ignorar o
:
Passo 5
Substituindo
na expressão do termo geral:
Queremos encontrar o menor
tal que
.
Passo 6
Vamos calcular os termos passo a passo:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Observamos que para
, o termo
ainda é maior que
. Portanto, precisamos calcular mais termos.
Para
:
Passo 8
Agora, para
, o termo
ainda é maior que
. Assim, precisamos verificar se já atingimos a precisão desejada:
Como
, podemos parar aqui. Isso significa que somando até o termo
, a aproximação de
terá 8 algarismos significativos.
Resposta
São necessários 6 termos da série de Maclaurin para aproximar
com precisão de 8 algarismos significativos.