A série de Maclaurin para cos (x) é uma expansâo em potencias de x,e pode ser derivada a partir da fórmula geral da série de Taylor. Para cos (x), a série de Maclaurin é dada por:
cos (x)=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n(2 n)!
Determine o numero de termos necessários para aproximar cos x ate 8 algarismos significativos usando a aproximaçāo por série de Maclaurin
cos x=1-x^22+x^44!-x^66!+x^88!-cdots
Calcule a aproximação usando um valor de x=0.3 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a série de Maclaurin para a função cos(x). A gente precisa descobrir quantos termos dessa série a gente precisa somar para aproximar cos(x) com 8 algarismos significativos quando x = 0.3pi. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e erro de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Maclaurin para cos(x). Ela é uma expansão em potências de x dada por:
cos(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!
Isso significa que podemos aproximar cos(x) somando termos dessa série até obter a precisão desejada.

Passo 3

Nosso objetivo é ter uma aproximação com 8 algarismos significativos. Para isso, precisamos garantir que o próximo termo da série que não estamos somando seja menor que 5 times 10^-9 (já que o erro deve ser menor que metade do valor do último algarismo significativo).

Passo 4

Vamos calcular os termos da série até que o valor absoluto de um termo seja menor que 5 times 10^-9. O termo geral da série é:
an = (-1)^n x^2n(2n)!
Como estamos interessados no valor absoluto, podemos ignorar o (-1)^n:
|an| = x^2n(2n)!

Passo 5

Substituindo x = 0.3pi na expressão do termo geral:
|an| = (0.3pi)^2n(2n)!
Queremos encontrar o menor n tal que |an| < 5 times 10^-9.

Passo 6

Vamos calcular os termos passo a passo:
Para n=0:
|a0| = (0.3pi)^00! = 1
Para n=1:
|a1| = (0.3pi)^22! approx 0.09pi^22 approx 0.09 times 9.86962 approx 0.4446
Para n=2:
|a2| = (0.3pi)^44! approx 0.0081pi^424 approx 0.0081 times 97.409124 approx 0.0328
Para n=3:
|a3| = (0.3pi)^66! approx 0.000729pi^6720 approx 0.000729 times 961.3892720 approx 0.000971
Para n=4:
|a4| = (0.3pi)^88! approx 0.00006561pi^840320 approx 0.00006561 times 9488.53140320 approx 0.0000154
Para n=5:
|a5| = (0.3pi)^1010! approx 0.0000059049pi^103628800 approx 0.0000059049 times 93648.0473628800 approx 0.000000152

Passo 7

Observamos que para n=5, o termo |a5| approx 1.52 times 10^-7 ainda é maior que 5 times 10^-9. Portanto, precisamos calcular mais termos.
Para n=6:
|a6| = (0.3pi)^1212! approx 0.000000531441pi^12479001600 approx 0.000000531441 times 924269.181479001600 approx 1.025 times 10^-9

Passo 8

Agora, para n=6, o termo |a6| approx 1.025 times 10^-9 ainda é maior que 5 times 10^-9. Assim, precisamos verificar se já atingimos a precisão desejada:
Como 1.025 times 10^-9 < 5 times 10^-9, podemos parar aqui. Isso significa que somando até o termo n=6, a aproximação de cos(0.3pi) terá 8 algarismos significativos.

Resposta

São necessários 6 termos da série de Maclaurin para aproximar cos(0.3pi) com precisão de 8 algarismos significativos.

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