Usando três iteraçōes do método da falsa posição e aproximaçöes iniciais de 1 e 3. Calcule - erro aproximado epsilona e o erro verdadeiro epsilonq depois de cada iteração da função f(x)= 0.8-0.3 xx. Há algum problema como resultado?
f(x)=0.8-0.3 xx

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver um exercício usando o método da falsa posição, também conhecido como método de Regula Falsi. A gente vai usar três iterações, começando com os valores iniciais de f(x) = 0.8 - 0.3xx e . A função que estamos trabalhando é:
Vamos precisar entender como o método da falsa posição funciona. Basicamente, ele usa duas aproximações iniciais e vai refinando essas aproximações até chegar perto da raiz da função, que é o valor de onde . Além disso, vamos calcular o erro aproximado ( ) e o erro verdadeiro ( ) em cada iteração para ver o quão perto estamos da solução exata.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a raiz exata da função para poder calcular o erro verdadeiro depois. Para isso, igualamos 0.8 - 0.3xx = 0 implies 0.8 - 0.3x = 0 implies x = 0.80.3 approx 2.6667 a zero e resolvemos para :
Então, a raiz exata é aproximadamente 2.6667. Esse valor vai nos ajudar a calcular o erro verdadeiro mais tarde.

Passo 3

Agora, vamos iniciar o método da falsa posição com as aproximações iniciais x2 = x1 - f(x1) times x1 - x0f(x1) - f(x0) e f(1) = 0.8 - 0.3 times 11 = 0.8 - 0.31 = 0.5 . A fórmula para encontrar a próxima aproximação ( f(3) = 0.8 - 0.3 times 33 = 0.8 - 0.93 = -0.13 approx -0.0333 ) é:
Primeiro, precisamos calcular e :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula para encontrar x2 = 3 - (-0.0333) times 3 - 1-0.0333 - 0.5 = 3 - (-0.0333) times 2-0.5333 :
Numerador = -0.0333 times 2 = -0.0666
Vamos calcular isso passo a passo:
Denominador = -0.5333
x2 = 3 - ( -0.0666-0.5333 ) approx 3 - 0.125 = 2.875
Então, a nova aproximação é .

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro aproximado ( epsilona = |x2 - x1| = |2.875 - 3| = 0.125 ) e o erro verdadeiro ( epsilonq = |x2 - xexata| = |2.875 - 2.6667| approx 0.2083 ) após a primeira iteração.
Até aqui, já fizemos a primeira iteração.

Passo 6

Para a segunda iteração, precisamos decidir quais valores usar como novas aproximações. Como f(2.875) = 0.8 - 0.3 times 2.8752.875 = 0.8 - 0.86252.875 = -0.06252.875 approx -0.0217 será calculado para decidir qual intervalo manter. Vamos calcular :
Como e são negativos, significa que a raiz está entre e . Então, nosso novo intervalo será e .

Passo 7

Aplicando a fórmula novamente para encontrar x3 = 2.875 - f(2.875) times 2.875 - 1f(2.875) - f(1) :
x3 = 2.875 - (-0.0217) times 1.875-0.0217 - 0.5 = 2.875 - (-0.0217) times 1.875-0.5217
Substituindo os valores:
Numerador = -0.0217 times 1.875 = -0.0406
Calculando passo a passo:
Denominador = -0.5217
x3 = 2.875 - ( -0.0406-0.5217 ) approx 2.875 - 0.0778 = 2.7972
Então, a nova aproximação é .

Passo 8

Agora, calculamos os erros após a segunda iteração:
epsilona = |x3 - x2| = |2.7972 - 2.875| = 0.0778
epsilonq = |x3 - xexata| = |2.7972 - 2.6667| approx 0.1305

Passo 9

Vamos para a terceira iteração. Primeiro, calculamos f(2.7972) = 0.8 - 0.3 times 2.79722.7972 = 0.8 - 0.83922.7972 = -0.03922.7972 approx -0.0140 :
Como é negativo e também é negativo, o intervalo permanece sendo e .

Passo 10

Aplicamos a fórmula novamente para encontrar x4 = 2.7972 - f(2.7972) times 2.7972 - 1f(2.7972) - f(1) :
x4 = 2.7972 - (-0.0140) times 1.7972-0.0140 - 0.5 = 2.7972 - (-0.0140) times 1.7972-0.5140
Substituindo os valores:
Numerador = -0.0140 times 1.7972 = -0.02516
Calculando passo a passo:
Denominador = -0.5140
x4 = 2.7972 - ( -0.02516-0.5140 ) approx 2.7972 - 0.0489 = 2.7483
Então, a nova aproximação é .

Passo 11

Finalmente, calculamos os erros após a terceira iteração:
epsilona = |x4 - x3| = |2.7483 - 2.7972| = 0.0489
epsilonq = |x4 - xexata| = |2.7483 - 2.6667| approx 0.0816

Resposta

Após três iterações do método da falsa posição:
  1. Primeira iteração:
  2. Segunda iteração:
  3. Terceira iteração:
Problema observado: O erro aproximado está diminuindo, mas não de forma muito rápida, e a aproximação está oscilando em torno da raiz exata. Isso pode indicar uma convergência lenta ou a necessidade de mais iterações para aumentar a precisão.

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