Usando três iteraçōes do método da falsa posição e aproximaçöes iniciais de 1 e 3. Calcule - erro aproximado e o erro verdadeiro depois de cada iteração da função . Há algum problema como resultado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver um exercício usando o método da falsa posição, também conhecido como método de Regula Falsi. A gente vai usar três iterações, começando com os valores iniciais de e . A função que estamos trabalhando é:
Vamos precisar entender como o método da falsa posição funciona. Basicamente, ele usa duas aproximações iniciais e vai refinando essas aproximações até chegar perto da raiz da função, que é o valor de onde . Além disso, vamos calcular o erro aproximado ( ) e o erro verdadeiro ( ) em cada iteração para ver o quão perto estamos da solução exata.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a raiz exata da função para poder calcular o erro verdadeiro depois. Para isso, igualamos a zero e resolvemos para :
Então, a raiz exata é aproximadamente 2.6667. Esse valor vai nos ajudar a calcular o erro verdadeiro mais tarde.

Passo 3

Agora, vamos iniciar o método da falsa posição com as aproximações iniciais e . A fórmula para encontrar a próxima aproximação ( ) é:
Primeiro, precisamos calcular e :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula para encontrar :
Vamos calcular isso passo a passo:
Então, a nova aproximação é .

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro aproximado ( ) e o erro verdadeiro ( ) após a primeira iteração.
Até aqui, já fizemos a primeira iteração.

Passo 6

Para a segunda iteração, precisamos decidir quais valores usar como novas aproximações. Como será calculado para decidir qual intervalo manter. Vamos calcular :
Como e são negativos, significa que a raiz está entre e . Então, nosso novo intervalo será e .

Passo 7

Aplicando a fórmula novamente para encontrar :
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
Então, a nova aproximação é .

Passo 8

Agora, calculamos os erros após a segunda iteração:

Passo 9

Vamos para a terceira iteração. Primeiro, calculamos :
Como é negativo e também é negativo, o intervalo permanece sendo e .

Passo 10

Aplicamos a fórmula novamente para encontrar :
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
Então, a nova aproximação é .

Passo 11

Finalmente, calculamos os erros após a terceira iteração:

Resposta

Após três iterações do método da falsa posição:
  1. Primeira iteração:
  2. Segunda iteração:
  3. Terceira iteração:
Problema observado: O erro aproximado está diminuindo, mas não de forma muito rápida, e a aproximação está oscilando em torno da raiz exata. Isso pode indicar uma convergência lenta ou a necessidade de mais iterações para aumentar a precisão.

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