Usando três iteraçōes do método da falsa posição e aproximaçöes iniciais de 1 e 3. Calcule - erro aproximado
e o erro verdadeiro
depois de cada iteração da função
. Há algum problema como resultado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver um exercício usando o método da falsa posição, também conhecido como método de Regula Falsi. A gente vai usar três iterações, começando com os valores iniciais de
e
. A função que estamos trabalhando é:
Vamos precisar entender como o método da falsa posição funciona. Basicamente, ele usa duas aproximações iniciais e vai refinando essas aproximações até chegar perto da raiz da função, que é o valor de
onde
. Além disso, vamos calcular o erro aproximado (
) e o erro verdadeiro (
) em cada iteração para ver o quão perto estamos da solução exata.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a raiz exata da função para poder calcular o erro verdadeiro depois. Para isso, igualamos
a zero e resolvemos para
:
Então, a raiz exata é aproximadamente 2.6667. Esse valor vai nos ajudar a calcular o erro verdadeiro mais tarde.
Passo 3
Agora, vamos iniciar o método da falsa posição com as aproximações iniciais
e
. A fórmula para encontrar a próxima aproximação (
) é:
Primeiro, precisamos calcular
e
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula para encontrar
:
Vamos calcular isso passo a passo:
Então, a nova aproximação é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro aproximado (
) e o erro verdadeiro (
) após a primeira iteração.
Até aqui, já fizemos a primeira iteração.
Passo 6
Para a segunda iteração, precisamos decidir quais valores usar como novas aproximações. Como
será calculado para decidir qual intervalo manter. Vamos calcular
:
Como
e
são negativos, significa que a raiz está entre
e
. Então, nosso novo intervalo será
e
.
Passo 7
Aplicando a fórmula novamente para encontrar
:
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
Então, a nova aproximação é
.
Passo 8
Agora, calculamos os erros após a segunda iteração:
Passo 9
Vamos para a terceira iteração. Primeiro, calculamos
:
Como
é negativo e
também é negativo, o intervalo permanece sendo
e
.
Passo 10
Aplicamos a fórmula novamente para encontrar
:
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
Então, a nova aproximação é
.
Passo 11
Finalmente, calculamos os erros após a terceira iteração:
Resposta
Após três iterações do método da falsa posição:
-
Primeira iteração:
-
-
Segunda iteração:
-
-
Terceira iteração:
-
Problema observado: O erro aproximado está diminuindo, mas não de forma muito rápida, e a aproximação está oscilando em torno da raiz exata. Isso pode indicar uma convergência lenta ou a necessidade de mais iterações para aumentar a precisão.
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.
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até
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