(2, 5 pontos) Justifique, pelo método da bissecção, que a função:
f(x)=cos pi(x+1)8+0.148 x-0.9062=0
possui uma raiz no intervalo (-1,0) e outra no intervalo (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o método da bissecção para mostrar que a função tem uma raiz no intervalo e outra no intervalo . O método da bissecção é uma técnica para encontrar raízes de funções contínuas dividindo repetidamente um intervalo ao meio e verificando onde a função muda de sinal, o que indica a presença de uma raiz. Então, vamos precisar calcular nos pontos finais dos intervalos e verificar as mudanças de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função muda de sinal no intervalo f(-1) = cos pi(-1 + 1)8 + 0.148(-1) - 0.9062 = cos 0 + (-0.148) - 0.9062 = 1 - 0.148 - 0.9062 = -0.0542 . Para isso, calculamos f(0) = cos pi(0 + 1)8 + 0.148(0) - 0.9062 = cos pi8 + 0 - 0.9062 approx 0.9239 - 0.9062 = 0.0177 e .
Calculando :
Calculando :
Aqui, é aproximadamente e é aproximadamente . Vemos que a função muda de negativo para positivo nesse intervalo.

Passo 3

Segundo, vamos fazer o mesmo para o intervalo f(1) = cos pi(1 + 1)8 + 0.148(1) - 0.9062 = cos pi4 + 0.148 - 0.9062 approx 0.7071 + 0.148 - 0.9062 = -0.0511 . Calculamos e .
Já calculamos .
Calculando :
Aqui, é aproximadamente e é aproximadamente . A função muda de positivo para negativo nesse intervalo.

Passo 4

Como a função é contínua (pois é formada por funções contínuas como o cosseno e polinômios), segundo o Teorema do Valor Intermediário, se a função muda de sinal em um intervalo, ela deve ter pelo menos uma raiz nesse intervalo.
No intervalo , passa de negativo para positivo, indicando uma raiz. No intervalo , passa de positivo para negativo, indicando outra raiz.

Resposta

Usando o método da bissecção, demonstramos que a função possui uma raiz no intervalo e outra no intervalo .

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