(2, 5 pontos) Justifique, pelo método da bissecção, que a função:
possui uma raiz no intervalo
e outra no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o método da bissecção para mostrar que a função
tem uma raiz no intervalo
e outra no intervalo
. O método da bissecção é uma técnica para encontrar raízes de funções contínuas dividindo repetidamente um intervalo ao meio e verificando onde a função muda de sinal, o que indica a presença de uma raiz. Então, vamos precisar calcular
nos pontos finais dos intervalos e verificar as mudanças de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função muda de sinal no intervalo
. Para isso, calculamos
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Aqui,
é aproximadamente
e
é aproximadamente
. Vemos que a função muda de negativo para positivo nesse intervalo.
Passo 3
Segundo, vamos fazer o mesmo para o intervalo
. Calculamos
e
.
Já calculamos
.
Calculando
:
Aqui,
é aproximadamente
e
é aproximadamente
. A função muda de positivo para negativo nesse intervalo.
Passo 4
Como a função
é contínua (pois é formada por funções contínuas como o cosseno e polinômios), segundo o Teorema do Valor Intermediário, se a função muda de sinal em um intervalo, ela deve ter pelo menos uma raiz nesse intervalo.
No intervalo
,
passa de negativo para positivo, indicando uma raiz. No intervalo
,
passa de positivo para negativo, indicando outra raiz.
Resposta
Usando o método da bissecção, demonstramos que a função
possui uma raiz no intervalo
e outra no intervalo
.