Seja a função
. Encontre um limitante superior para o erro
cometido ao usar
para aproximar
no intervalo
.
Atenção: Para calcular os valores de
, programe sua calculadora para que
seja medido em radianos.
Atenção: Para calcular os valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um limitante superior para o erro ao aproximar a função
usando o polinômio de Taylor de grau 3, chamado
, no intervalo de
. Vamos precisar usar conceitos de séries de Taylor e estimar o erro usando o teorema do resto de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o erro ao aproximar uma função pela série de Taylor é chamado de resto, e para encontrar uma estimativa desse erro, usamos o Teorema do Resto de Lagrange. Esse teorema nos diz que o erro
é menor ou igual a:
Onde:
-
é o valor máximo absoluto da -ésima derivada de no intervalo considerado. -
é o grau do polinômio de Taylor. No nosso caso, . -
é o ponto em que estamos expandindo a série de Taylor. Aqui, vamos assumir que estamos expandindo em .
Passo 3
Então, para o nosso caso:
- Precisamos calcular a quarta derivada de
, ou seja, . - Encontrar o valor máximo absoluto dessa quarta derivada no intervalo
, que será nosso . - Substituir esses valores na fórmula do teorema do resto para encontrar o limitante superior do erro.
Passo 4
Vamos calcular a quarta derivada de
. Primeiro, vamos derivar passo a passo:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor máximo absoluto de
no intervalo
. Vamos analisar cada termo:
-
: O seno de qualquer ângulo varia entre -1 e 1, então . -
: O cosseno também varia entre -1 e 1, então . Como , .
Somando os valores máximos:
Passo 6
Agora, vamos usar o teorema do resto de Lagrange para encontrar o limitante superior do erro:
Onde:
Substituindo os valores:
Passo 7
Calculando os valores:
Resposta
Um limitante superior para o erro
no intervalo
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Seja a função
. Obtenha o polinômio de Taylor de ordem três
em torno de
e use-o para calcular o valor aproximado de
.
Seja a função
. Determine um limitante superior para o erro absoluto em (d) usando
, e compare esse limitante com o erro absoluto real.
É possível generalizar o resultado do item (a) para uma função polinomial de grau
(com
)? Prove ou forneça um contraexemplo.
Seja
uma função derivável tal que
e
para todo
. Mostre que
para todo
.