Seja a função f(x)=2 x cos (2 x)-(x-2)^2. Encontre um limitante superior para o erro |f(x)-P3(x)| cometido ao usar P3(x) para aproximar f(x) no intervalo [0,0.8].
Atenção: Para calcular os valores de cos (2 x), programe sua calculadora para que x seja medido em radianos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um limitante superior para o erro ao aproximar a função usando o polinômio de Taylor de grau 3, chamado , no intervalo de . Vamos precisar usar conceitos de séries de Taylor e estimar o erro usando o teorema do resto de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o erro ao aproximar uma função pela série de Taylor é chamado de resto, e para encontrar uma estimativa desse erro, usamos o Teorema do Resto de Lagrange. Esse teorema nos diz que o erro |Rn(x)| <= M(n+1)! |x - c|^n+1 é menor ou igual a:
Onde:
  • é o valor máximo absoluto da -ésima derivada de no intervalo considerado.
  • é o grau do polinômio de Taylor. No nosso caso, .
  • é o ponto em que estamos expandindo a série de Taylor. Aqui, vamos assumir que estamos expandindo em .

Passo 3

Então, para o nosso caso:
  • Precisamos calcular a quarta derivada de , ou seja, .
  • Encontrar o valor máximo absoluto dessa quarta derivada no intervalo , que será nosso .
  • Substituir esses valores na fórmula do teorema do resto para encontrar o limitante superior do erro.

Passo 4

Vamos calcular a quarta derivada de f'(x) = 2 cos(2x) + 2x cdot (-2 sin(2x)) - 2(x - 2) . Primeiro, vamos derivar passo a passo:
  1. Primeira derivada:
f'(x) = 2 cos(2x) - 4x sin(2x) - 2x + 4
f''(x) = -4 sin(2x) - 4 sin(2x) - 8x cos(2x) - 2
  1. Segunda derivada:
f''(x) = -8 sin(2x) - 8x cos(2x) - 2
f'''(x) = -16 cos(2x) + 16x sin(2x)
  1. Terceira derivada:
f''''(x) = 32 sin(2x) + 32 sin(2x) + 32x cos(2x)
  1. Quarta derivada:
f''''(x) = 64 sin(2x) + 32x cos(2x)

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor máximo absoluto de M <= 64 + 25.6 = 89.6 no intervalo . Vamos analisar cada termo:
  • : O seno de qualquer ângulo varia entre -1 e 1, então .
  • : O cosseno também varia entre -1 e 1, então . Como , .
Somando os valores máximos:

Passo 6

Agora, vamos usar o teorema do resto de Lagrange para encontrar o limitante superior do erro:
|R3(x)| <= M4! |x|^4
Onde:
  • |R3(x)| <= 89.624 times (0.8)^4
Substituindo os valores:

Passo 7

Calculando os valores:
(0.8)^4 = 0.4096
89.624 approx 3.7333
3.7333 times 0.4096 approx 1.528

Resposta

Um limitante superior para o erro no intervalo é aproximadamente .

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