Seja a função f(x)=2 x cos (2 x)-(x-2)^2. Obtenha o polinômio de Taylor de ordem três P3(x) em torno de x0=0 e use-o para calcular o valor aproximado de f(0.4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o polinômio de Taylor de ordem três para a função em torno de . Depois, vamos usar esse polinômio para calcular uma aproximação de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e da série de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de Taylor. Basicamente, é uma forma de aproximar uma função suave perto de um ponto específico usando um polinômio. Nesse caso, queremos expandir em torno de até a terceira ordem, ou seja, incluindo termos até .

Passo 3

Para construir o polinômio de Taylor P3(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2x^2 + f'''(0)6x^3 , precisamos calcular as derivadas de até a terceira ordem e avaliá-las em . A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem três é:

Passo 4

Vamos começar calculando f(0) = 2 cdot 0 cdot cos(0) - (0 - 2)^2 = 0 - 4 = -4 :

Passo 5

Agora, encontramos a primeira derivada f'(x) = 2 cos(2x) + 2x cdot (-sin(2x) cdot 2) - 2(x - 2) = 2 cos(2x) - 4x sin(2x) - 2x + 4 . Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
f'(0) = 2 cos(0) - 0 - 0 + 4 = 2 cdot 1 + 4 = 6
Avaliando em :

Passo 6

Vamos para a segunda derivada f''(x) = -4 sin(2x) - 4 sin(2x) - 8x cos(2x) - 2 :
f''(x) = -8 sin(2x) - 8x cos(2x) - 2
f''(0) = -8 cdot 0 - 0 - 2 = -2
Avaliando em :

Passo 7

Agora, a terceira derivada f'''(x) = -16 cos(2x) - 8 cos(2x) + 16x sin(2x) :
f'''(x) = -24 cos(2x) + 16x sin(2x)
f'''(0) = -24 cdot 1 + 0 = -24
Avaliando em :

Passo 8

Com todas as derivadas calculadas, montamos o polinômio de Taylor de ordem três:
P3(x) = -4 + 6x + -22x^2 + -246x^3 = -4 + 6x - x^2 - 4x^3

Passo 9

Agora, para encontrar P3(0.4) = -4 + 6(0.4) - (0.4)^2 - 4(0.4)^3 usando P3(0.4) = -4 + 2.4 - 0.16 - 0.256 = -2.016 :

Resposta

O valor aproximado de usando o polinômio de Taylor de ordem três é .

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