Responda se o número dado em cada item é racional ou irracional, justificando suas respostas. Quando for racional, determine a fração geratriz.
Observação: no item (d) identifique os próximos algarismos não escritos e, mais geralmente, identifique o processo de obtenção de todos os algarismos. Em seguida responda se é um número racional ou irracional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um número aqui: . A questão pede para a gente descobrir se esse número é racional ou irracional. Racional e irracional são conceitos de números que a gente estuda em matemática, especialmente quando falamos de tipos de números reais. Para resolver isso, precisamos entender o que torna um número racional ou irracional e analisar como os algarismos desse número são formados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são números racionais e irracionais. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como o quociente de dois inteiros, ou seja, na forma , onde e são inteiros e . Além disso, os números racionais têm uma representação decimal que termina ou que se repete periodicamente.
Por outro lado, um número irracional não pode ser expresso como uma fração simples e sua representação decimal é infinita e não periódica; ou seja, não repete nenhum padrão regular.

Passo 3

Agora, vamos analisar o número dado: . Observamos que os algarismos após a vírgula são formados pela concatenação dos números naturais em sequência: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, e assim por diante.

Passo 4

Vamos identificar os próximos algarismos que não estão escritos. Depois de 17, vem 18, então os próximos algarismos seriam 18, que na sequência ficaria . O processo de obtenção de todos os algarismos é justamente concatenar os números naturais em ordem crescente, sem que haja repetição ou padrão que se repita continuamente.

Passo 5

Agora, pensando na definição de número racional, lembramos que ele precisa ter uma representação decimal que eventualmente se repete. No nosso número, cada new número adicionado à sequência aumenta a quantidade de algarismos sem nenhum padrão de repetição que se mantenha. Por exemplo, nunca vamos voltar a ter a mesma sequência de algarismos infinitamente.

Passo 6

Como o desenvolvimento decimal desse número não termina e nem apresenta um padrão periódico de repetição, concluímos que ele não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros. Portanto, esse número não é racional.

Resposta

O número é irracional, pois sua expans��o decimal é infinita e não periódica, não podendo ser expressa como uma fração de dois inteiros.

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É possível provar que se não e um quadrado perfeito, então é um número irracional. Use este resultado para exibir pelo menos 10 números irracionais.
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