Os problemas que envolvem a quantia necessária para o pagamento de uma hipoteca durante um período fixo utilizam a fórmula a seguir:
A=Pi[1-(11+i)^n]
denominada equação da anuidade ordinária. Nessa equação, A é o valor da hipoteca, P é a quantia de cada pagamento e i é a taxa de juros por período para n períodos de pagamento. Suponha que uma quantia de deve ser paga em trinta anos pela hipoteca de uma casa e que o mutuário possa pagar até deve ser paga em trinta anos pela hipoteca de uma casa e que o mutuário possa pagar até por mês pela casa. Qual deve ser a taxa de juros máxima para que o mutuário possa pagar a hipoteca?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um problema de hipoteca onde precisamos descobrir qual é a taxa de juros máxima que a pessoa pode pagar para quitar uma casa de $135.000 em 30 anos, pagando até $1.000 por mês. A gente vai usar a fórmula da anuidade ordinária, que é:
135.000 em 30 anos, pagando até
Aqui, A = Pi [ 1 - ( 11+i )^n ] é o valor da hipoteca ($135.000), 135.000), ( P ) é o pagamento mensal ( é o pagamento mensal ($1.000), é a taxa de juros por período (mensal, nesse caso), e é o número total de pagamentos (30 anos 12 meses = 360 meses). Vamos precisar dessa fórmula e entender como ela funciona para encontrar a taxa de juros .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os valores que temos:
  • 135,000 = 1,000i [ 1 - ( 11+i )^360 ] dólares
  • dólares por mês
  • meses
Queremos encontrar , a taxa de juros mensal.
Vamos reescrever a fórmula para facilitar:

Passo 3

Nosso objetivo é isolar . No entanto, essa equação não é fácil de resolver diretamente porque aparece dentro e fora do expoente. Portanto, vamos usar um método numérico, como a tentativa e erro ou uma calculadora financeira, para encontrar que satisfaz a equação.

Passo 4

Vamos tentar alguns valores de 1,0000,005 [ 1 - ( 11+0,005 )^360 ] = 200,000 times [1 - (1,005)^-360] para ver qual se aproxima de satisfazer a equação.
Primeiro, vamos tentar 0,5% ao mês ( ):
Calculando isso, descobrimos se é menor ou maior que $135.000. Se for maior, precisamos aumentar a taxa; se for menor, diminuir.

Passo 5

Após ajustar vários valores, encontraremos que a taxa de juros que faz o lado direito da equação ser aproximadamente $135.000 é de cerca de 0,3% ao mês.

Resposta

A taxa de juros máxima que o mutuário pode pagar para quitar a hipoteca é aproximadamente 0,3% ao mês.

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