Sabendo que g(x) e todas as suas derivadas, em valor absoluto, não superam o valor 3.1 no intervalo [-2,2], e que h(x) e todas as suas derivadas, em valor absoluto, não superam o valor 1.9 no intervalo [-2,2], estime um valor máximo do erro cometido na aproximação do item (a).
(faça no espaço abaixo)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função e outra no intervalo . Sabemos que o valor absoluto de e todas as suas derivadas não passam de 3.1, e para e suas derivadas, o limite é 1.9. O que precisamos é estimar o erro máximo ao aproximar algo que a gente discutiu no item (a). Para fazer isso, vamos usar conceitos de derivadas e estimativas de erro em aproximações, como o resto de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando fazemos uma aproximação de uma função, como usando polinômios de Taylor, o erro dessa aproximação pode ser estimado pelo termo de resto. Esse resto depende das derivadas da função. Quanto menores as derivadas, menor é o erro da aproximação.

Passo 3

A fórmula do resto de Taylor (o erro) é dada por:
Rn(x) = f^(n+1)(c)(n+1)! (x - a)^n+1
Onde:
  • é a -ésima derivada da função avaliada em algum ponto entre e .
  • é o ponto em que a aproximação é feita.
  • é a ordem do polinômio de Taylor usado.

Passo 4

Como todos as derivadas de estão limitadas por 3.1 e para por 1.9, podemos usar esses valores para estimar o máximo erro. Supondo que estamos usando um polinômio de Taylor de ordem , vamos multiplicar o limite das derivadas pelo termo .

Passo 5

Para simplificar, vamos considerar que o máximo erro ocorre no ponto mais distante do intervalo, que é ou . Vamos usar e (por simplicidade, assumindo que a aproximação é em torno de 0).

Passo 6

Então, o erro máximo para |Rn(2)| <= 3.1(n+1)! cdot 2^n+1 será:
|Rn(2)| <= 1.9(n+1)! cdot 2^n+1
E para :

Passo 7

Para obter o valor máximo do erro, precisamos escolher a ordem apropriada da aproximação. Sem essa informação, podemos expressar o erro em termos de . Porém, se quisermos um valor específico, precisaríamos saber até qual derivada estamos considerando na aproximação.

Resposta

O valor máximo estimado do erro na aproximação é dado por:
|Rn(2)| <= 3.1(n+1)! cdot 2^n+1 para g(x)
e
|Rn(2)| <= 1.9(n+1)! cdot 2^n+1 para h(x)
Essas expressões representam o erro máximo possível na aproximação considerando as limitações das derivadas das funções no intervalo .

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