Sabendo que e todas as suas derivadas, em valor absoluto, não superam o valor 3.1 no intervalo , e que e todas as suas derivadas, em valor absoluto, não superam o valor 1.9 no intervalo , estime um valor máximo do erro cometido na aproximação do item (a).
(faça no espaço abaixo)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função e outra no intervalo . Sabemos que o valor absoluto de e todas as suas derivadas não passam de 3.1, e para e suas derivadas, o limite é 1.9. O que precisamos é estimar o erro máximo ao aproximar algo que a gente discutiu no item (a). Para fazer isso, vamos usar conceitos de derivadas e estimativas de erro em aproximações, como o resto de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando fazemos uma aproximação de uma função, como usando polinômios de Taylor, o erro dessa aproximação pode ser estimado pelo termo de resto. Esse resto depende das derivadas da função. Quanto menores as derivadas, menor é o erro da aproximação.

Passo 3

A fórmula do resto de Taylor (o erro) é dada por:
Onde:
  • é a -ésima derivada da função avaliada em algum ponto entre e .
  • é o ponto em que a aproximação é feita.
  • é a ordem do polinômio de Taylor usado.

Passo 4

Como todos as derivadas de estão limitadas por 3.1 e para por 1.9, podemos usar esses valores para estimar o máximo erro. Supondo que estamos usando um polinômio de Taylor de ordem , vamos multiplicar o limite das derivadas pelo termo .

Passo 5

Para simplificar, vamos considerar que o máximo erro ocorre no ponto mais distante do intervalo, que é ou . Vamos usar e (por simplicidade, assumindo que a aproximação é em torno de 0).

Passo 6

Então, o erro máximo para será:
E para :

Passo 7

Para obter o valor máximo do erro, precisamos escolher a ordem apropriada da aproximação. Sem essa informação, podemos expressar o erro em termos de . Porém, se quisermos um valor específico, precisaríamos saber até qual derivada estamos considerando na aproximação.

Resposta

O valor máximo estimado do erro na aproximação é dado por:
e
Essas expressões representam o erro máximo possível na aproximação considerando as limitações das derivadas das funções no intervalo .

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Considere duas funções e definidas no intervalo tabeladas abaixo
-2 1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-0.18 0.55 -0.21 0.62 0.88 -0.46 0.28 0.59 -0.59
0.76 0.92 0.41 -0.11 0.19 0.48 -0.23 0.99 -0.13
e considere a função soma .
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