Sabendo que
e todas as suas derivadas, em valor absoluto, não superam o valor 3.1 no intervalo
, e que
e todas as suas derivadas, em valor absoluto, não superam o valor 1.9 no intervalo
, estime um valor máximo do erro cometido na aproximação do item (a).
(faça no espaço abaixo)
(faça no espaço abaixo)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
e outra
no intervalo
. Sabemos que o valor absoluto de
e todas as suas derivadas não passam de 3.1, e para
e suas derivadas, o limite é 1.9. O que precisamos é estimar o erro máximo ao aproximar algo que a gente discutiu no item (a). Para fazer isso, vamos usar conceitos de derivadas e estimativas de erro em aproximações, como o resto de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando fazemos uma aproximação de uma função, como usando polinômios de Taylor, o erro dessa aproximação pode ser estimado pelo termo de resto. Esse resto depende das derivadas da função. Quanto menores as derivadas, menor é o erro da aproximação.
Passo 3
A fórmula do resto de Taylor (o erro) é dada por:
Onde:
-
é a -ésima derivada da função avaliada em algum ponto entre e . -
é o ponto em que a aproximação é feita. -
é a ordem do polinômio de Taylor usado.
Passo 4
Como todos as derivadas de
estão limitadas por 3.1 e para
por 1.9, podemos usar esses valores para estimar o máximo erro. Supondo que estamos usando um polinômio de Taylor de ordem
, vamos multiplicar o limite das derivadas pelo termo
.
Passo 5
Para simplificar, vamos considerar que o máximo erro ocorre no ponto mais distante do intervalo, que é
ou
. Vamos usar
e
(por simplicidade, assumindo que a aproximação é em torno de 0).
Passo 6
Então, o erro máximo para
será:
E para
:
Passo 7
Para obter o valor máximo do erro, precisamos escolher a ordem
apropriada da aproximação. Sem essa informação, podemos expressar o erro em termos de
. Porém, se quisermos um valor específico, precisaríamos saber até qual derivada estamos considerando na aproximação.
Resposta
O valor máximo estimado do erro na aproximação é dado por:
e
Essas expressões representam o erro máximo possível na aproximação considerando as limitações das derivadas das funções no intervalo
.