Para produzir o radioisótopo ^24 Na, o nuclídeo ^23 Na é exposto a um fluxo de nêutrons térmicos em um reator nuclear. Quanto tempo de irradiação da amostra de ^23 Na é necessário para produzir uma atividade de metade do valor máximo possível, sabendo que a meia vida do sódio é T12=15[h].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre produzir o radioisótopo ^24Na a partir do ^23Na usando um fluxo de nêutrons em um reator nuclear. O que precisamos saber aqui é sobre radioatividade e meia-vida. Vamos precisar entender como uma substância radioativa se forma e quanto tempo leva para atingir uma certa atividade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a atividade radioativa. Quando expomos o ^23Na a nêutrons, alguns núcleos capturam um nêutron e se transformam em ^24Na. Esse ^24Na é radioativo e vai decair com o tempo. A meia-vida ( T12) é o tempo que leva para metade dos núcleos radioativos se desintegrar.

Passo 3

A atividade máxima possível ocorre quando a taxa de produção de ^24Na iguala a taxa de decaimento. Ela é dada por:
Amax = sigma phi N
onde:
  • sigma é a seção de choque de captura de nêutron,
  • phi é o fluxo de nêutrons,
  • N é o número de núcleos de ^23Na disponíveis.
Ao longo do tempo, a atividade A do radioisótopo cresce seguindo a equação:
A = Amax (1 - e^-lambda t)
onde lambda é a constante de decaimento relacionada à meia-vida por:
lambda = ln 2T12

Passo 4

Queremos descobrir o tempo t necessário para que a atividade A seja metade da atividade máxima, ou seja, A = 12Amax. Substituindo na equação:
12 = 1 - e^-lambda t
Isolando e^-lambda t:
e^-lambda t = 12
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
-lambda t = ln(12)
Simplificando:
t = ln 2lambda
Substituindo lambda = ln 2T12:
t = T12

Resposta

O tempo de irradiação necessário é de 15 horas.

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