Provar que
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar uma igualdade envolvendo diferenças divididas e uma função polinomial. O enunciado nos apresenta uma expressão para
que queremos mostrar ser igual a uma soma envolvendo
e a derivada de um polinômio
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são diferenças divididas, polinômios e como calcular derivadas. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Isso representa uma diferença dividida de ordem
para a função
nos pontos
. As diferenças divididas são usadas principalmente na interpolação de Newton para construir polinômios que passam por pontos dados.
Passo 3
Agora, olhemos para o polinômio
. Ele é definido como:
Esse é um polinômio de grau
que tem raízes exatamente nos pontos
. A derivada desse polinômio,
, será importante para a nossa prova.
Passo 4
Vamos lembrar que uma diferença dividida de ordem
pode ser expressa usando derivadas. Especificamente, para
pontos distintos
, temos:
para algum
entre os menores e maiores
. Porém, vamos seguir uma abordagem que relaciona diretamente com o polinômio
.
Passo 5
Vamos considerar que o polinômio
tem raízes nos pontos
. Assim, podemos escrever
como:
A derivada de
em
é:
Isso porque, ao derivar
, cada termo
contribui com o produto das demais diferenças.
Passo 6
Agora, vamos montar a soma que queremos provar:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Essa expressão está relacionada à interpolação polinomial e às diferenças divididas.
Passo 7
Para provar a igualdade, vamos notar que
pode ser representado como o coeficiente do termo de maior grau no polinômio interpolador de
nos pontos
. Esse coeficiente é justamente o que está sendo acumulado na soma apresentada.
Passo 8
Portanto, ao comparar as duas expressões, vemos que ambas representam o mesmo coeficiente do termo de maior grau na interpolação de
nos pontos dados. Assim, temos que:
Resposta
Pronto! Conseguimos provar que
é igual à soma
, utilizando conceitos de diferenças divididas e propriedades de derivadas de polinômios.
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Provar que
Seja
. Provar que
sempre quando os nós da interpolação
são distintos.
Provar que, se
, então
Provar que