Provar que
onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar uma igualdade envolvendo diferenças divididas e uma função polinomial. O enunciado nos apresenta uma expressão para que queremos mostrar ser igual a uma soma envolvendo e a derivada de um polinômio . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são diferenças divididas, polinômios e como calcular derivadas. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Isso representa uma diferença dividida de ordem para a função nos pontos . As diferenças divididas são usadas principalmente na interpolação de Newton para construir polinômios que passam por pontos dados.

Passo 3

Agora, olhemos para o polinômio . Ele é definido como:
Esse é um polinômio de grau que tem raízes exatamente nos pontos . A derivada desse polinômio, , será importante para a nossa prova.

Passo 4

Vamos lembrar que uma diferença dividida de ordem pode ser expressa usando derivadas. Especificamente, para pontos distintos , temos:
para algum entre os menores e maiores . Porém, vamos seguir uma abordagem que relaciona diretamente com o polinômio .

Passo 5

Vamos considerar que o polinômio tem raízes nos pontos . Assim, podemos escrever como:
A derivada de em é:
Isso porque, ao derivar , cada termo contribui com o produto das demais diferenças.

Passo 6

Agora, vamos montar a soma que queremos provar:
Substituindo pela expressão que encontramos:
Essa expressão está relacionada à interpolação polinomial e às diferenças divididas.

Passo 7

Para provar a igualdade, vamos notar que pode ser representado como o coeficiente do termo de maior grau no polinômio interpolador de nos pontos . Esse coeficiente é justamente o que está sendo acumulado na soma apresentada.

Passo 8

Portanto, ao comparar as duas expressões, vemos que ambas representam o mesmo coeficiente do termo de maior grau na interpolação de nos pontos dados. Assim, temos que:

Resposta

Pronto! Conseguimos provar que é igual à soma , utilizando conceitos de diferenças divididas e propriedades de derivadas de polinômios.

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Provar que
Seja . Provar que sempre quando os nós da interpolação são distintos.
Provar que, se , então
Provar que