Provar que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a soma
para valores de
. Estamos trabalhando com Polinômios de Lagrange, que são usados para interpolação polinomial. Vamos precisar entender como esses polinômios funcionam e suas propriedades para chegar na prova.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Lagrange
. Ele é definido como:
Esse polinômio tem a propriedade de ser igual a 1 quando
e 0 quando
para
. Isso significa que cada
“seleciona” o ponto
na interpolação.
Passo 3
Agora, vamos pensar na soma
. Nosso objetivo é mostrar que essa soma é igual a zero para
.
Para isso, vamos considerar que a soma resulta em um polinômio. Sabemos que um polinômio de grau
é determinado unicamente por seus
pontos. Se conseguirmos mostrar que esse polinômio tem mais pontos que o grau, ele deve ser o polin��mio nulo.
Passo 4
Vamos avaliar a soma em cada um dos pontos
para
. Quando
, todos os termos
são zero, exceto quando
, onde
. Assim, a soma se torna:
Isso acontece para todo
.
Passo 5
Como mostramos que o polinômio
se anula em
pontos diferentes e seu grau é no máximo
, podemos concluir que esse polinômio deve ser o polinômio nulo. Ou seja:
para
.
Resposta
Portanto, provamos que
para todos os valores de
.
Exercícios relacionados
Seja
. Provar que
sempre quando os nós da interpolação
são distintos.
Provar que
Provar que
onde
.
Provar que, se
, então