Provar que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a soma para valores de . Estamos trabalhando com Polinômios de Lagrange, que são usados para interpolação polinomial. Vamos precisar entender como esses polinômios funcionam e suas propriedades para chegar na prova.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Lagrange . Ele é definido como:
Esse polinômio tem a propriedade de ser igual a 1 quando e 0 quando para . Isso significa que cada “seleciona” o ponto na interpolação.

Passo 3

Agora, vamos pensar na soma . Nosso objetivo é mostrar que essa soma é igual a zero para .
Para isso, vamos considerar que a soma resulta em um polinômio. Sabemos que um polinômio de grau é determinado unicamente por seus pontos. Se conseguirmos mostrar que esse polinômio tem mais pontos que o grau, ele deve ser o polin��mio nulo.

Passo 4

Vamos avaliar a soma em cada um dos pontos para . Quando , todos os termos são zero, exceto quando , onde . Assim, a soma se torna:
Isso acontece para todo .

Passo 5

Como mostramos que o polinômio se anula em pontos diferentes e seu grau é no máximo , podemos concluir que esse polinômio deve ser o polinômio nulo. Ou seja:
para .

Resposta

Portanto, provamos que para todos os valores de .

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Seja . Provar que sempre quando os nós da interpolação são distintos.
Provar que
Provar que
onde .
Provar que, se , então