Seja . Provar que sempre quando os nós da interpolação são distintos.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o que precisamos saber para resolvê-lo.
Enunciado resumido:
Temos um polinômio de grau (isso significa que ), e queremos provar que o polinômio de interpolação de Lagrange é exatamente igual a quando os pontos de interpolação são todos distintos.
Conteúdo da matéria:
Interpolação polinomial, especialmente o método de Lagrange, e propriedades dos polinômios.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é um polinômio de interpolação de Lagrange.
  • Saber que um polinômio de grau é determinado por pontos distintos.
  • Conhecer o Teorema de Interpolação, que nos diz que para qualquer conjunto de pontos distintos, existe um único polinômio de grau no máximo que passa por todos esses pontos.

Passo 2

Entendendo o polinômio de Lagrange:
O polinômio de interpolação de Lagrange é construído de tal forma que passa exatamente pelos pontos . Ele é dado pela fórmula:
onde são os polinômios de base de Lagrange definidos por:
Cada é construído de modo que para todo e .

Passo 3

Propriedade importante dos polinômios de Lagrange:
Um ponto chave aqui é que o polinômio de Lagrange é o único polinômio de grau no máximo que passa pelos pontos dados.
Como é um polinômio de grau e já passa por esses mesmos pontos (porque substituindo temos ), então deve ser exatamente o polinômio de Lagrange para esses pontos.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Interpolação:
O Teorema de Interpolação afirma que, para quaisquer pontos distintos, existe um único polinômio de grau no máximo que passa por todos eles.
Dado que é esse polinômio que passa pelos pontos e é construído exatamente para ser o polinômio que passa por esses pontos, eles devem ser iguais.

Resposta

Portanto, sempre que os nós de interpolação são distintos.

Exercícios relacionados

Provar que
Simplificar as expressões, isto é, representar cada um dos seguintes polinômios como exigido no problema anterior:
.
Provar que
Provar que
onde .