Seja
. Provar que
sempre quando os nós da interpolação
são distintos.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o que precisamos saber para resolvê-lo.
Enunciado resumido:
Temos um polinômio de grau
(isso significa que
), e queremos provar que o polinômio de interpolação de Lagrange
é exatamente igual a
quando os pontos de interpolação
são todos distintos.
Temos um polinômio
Conteúdo da matéria:
Interpolação polinomial, especialmente o método de Lagrange, e propriedades dos polinômios.
Interpolação polinomial, especialmente o método de Lagrange, e propriedades dos polinômios.
O que vamos precisar:
- Entender o que é um polinômio de interpolação de Lagrange.
- Saber que um polinômio de grau
é determinado por pontos distintos. - Conhecer o Teorema de Interpolação, que nos diz que para qualquer conjunto de
pontos distintos, existe um único polinômio de grau no máximo que passa por todos esses pontos.
Passo 2
Entendendo o polinômio de Lagrange:
O polinômio de interpolação de Lagrange é construído de tal forma que passa exatamente pelos pontos
. Ele é dado pela fórmula:
O polinômio de interpolação de Lagrange
onde
são os polinômios de base de Lagrange definidos por:
Cada
é construído de modo que
para todo
e
.
Passo 3
Propriedade importante dos polinômios de Lagrange:
Um ponto chave aqui é que o polinômio de Lagrange é o único polinômio de grau no máximo
que passa pelos
pontos dados.
Um ponto chave aqui é que o polinômio de Lagrange
Como
é um polinômio de grau
e já passa por esses mesmos
pontos (porque substituindo
temos
), então
deve ser exatamente o polinômio de Lagrange para esses pontos.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Interpolação:
O Teorema de Interpolação afirma que, para quaisquer pontos distintos, existe um único polinômio de grau no máximo
que passa por todos eles.
O Teorema de Interpolação afirma que, para quaisquer
Dado que
é esse polinômio que passa pelos pontos
e
é construído exatamente para ser o polinômio que passa por esses pontos, eles devem ser iguais.
Resposta
Portanto,
sempre que os nós de interpolação
são distintos.
Exercícios relacionados
Provar que
Simplificar as expressões, isto é, representar cada um dos seguintes polinômios como exigido no problema anterior:
.
Provar que
Provar que
onde
.