Seja Q in pin. Provar que Ln(Q ; x) equiv Q(x) sempre quando os nós da interpolação x0, x1, ldots, xn são distintos.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o que precisamos saber para resolvê-lo.
Enunciado resumido:
Temos um polinômio de grau (isso significa que ), e queremos provar que o polinômio de interpolação de Lagrange é exatamente igual a quando os pontos de interpolação são todos distintos.
Conteúdo da matéria:
Interpolação polinomial, especialmente o método de Lagrange, e propriedades dos polinômios.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é um polinômio de interpolação de Lagrange.
  • Saber que um polinômio de grau é determinado por pontos distintos.
  • Conhecer o Teorema de Interpolação, que nos diz que para qualquer conjunto de pontos distintos, existe um único polinômio de grau no máximo que passa por todos esses pontos.

Passo 2

Entendendo o polinômio de Lagrange:
O polinômio de interpolação de Lagrange Ln(Q ; x) = sumi=0^n Q(xi) cdot li(x) é construído de tal forma que passa exatamente pelos pontos li(x) = prodsubstack0 <= j <= n j neq i x - xjxi - xj . Ele é dado pela fórmula:
onde são os polinômios de base de Lagrange definidos por:
Cada é construído de modo que para todo e .

Passo 3

Propriedade importante dos polinômios de Lagrange:
Um ponto chave aqui é que o polinômio de Lagrange é o único polinômio de grau no máximo que passa pelos pontos dados.
Como é um polinômio de grau e já passa por esses mesmos pontos (porque substituindo temos ), então deve ser exatamente o polinômio de Lagrange para esses pontos.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Interpolação:
O Teorema de Interpolação afirma que, para quaisquer pontos distintos, existe um único polinômio de grau no máximo que passa por todos eles.
Dado que é esse polinômio que passa pelos pontos e é construído exatamente para ser o polinômio que passa por esses pontos, eles devem ser iguais.

Resposta

Portanto, sempre que os nós de interpolação são distintos.

Exercícios relacionados