Seja
. Provar que
sempre quando os nós da interpolação
são distintos.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o que precisamos saber para resolvê-lo.
Enunciado resumido:
Temos um polinômio de grau
(isso significa que
), e queremos provar que o polinômio de interpolação de Lagrange
é exatamente igual a
quando os pontos de interpolação
são todos distintos.
Temos um polinômio
Conteúdo da matéria:
Interpolação polinomial, especialmente o método de Lagrange, e propriedades dos polinômios.
Interpolação polinomial, especialmente o método de Lagrange, e propriedades dos polinômios.
O que vamos precisar:
- Entender o que é um polinômio de interpolação de Lagrange.
- Saber que um polinômio de grau
é determinado por pontos distintos. - Conhecer o Teorema de Interpolação, que nos diz que para qualquer conjunto de
pontos distintos, existe um único polinômio de grau no máximo que passa por todos esses pontos.
Passo 2
Entendendo o polinômio de Lagrange:
O polinômio de interpolação de Lagrange é construído de tal forma que passa exatamente pelos pontos
. Ele é dado pela fórmula:
O polinômio de interpolação de Lagrange
onde
são os polinômios de base de Lagrange definidos por:
Cada
é construído de modo que
para todo
e
.
Passo 3
Propriedade importante dos polinômios de Lagrange:
Um ponto chave aqui é que o polinômio de Lagrange é o único polinômio de grau no máximo
que passa pelos
pontos dados.
Um ponto chave aqui é que o polinômio de Lagrange
Como
é um polinômio de grau
e já passa por esses mesmos
pontos (porque substituindo
temos
), então
deve ser exatamente o polinômio de Lagrange para esses pontos.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Interpolação:
O Teorema de Interpolação afirma que, para quaisquer pontos distintos, existe um único polinômio de grau no máximo
que passa por todos eles.
O Teorema de Interpolação afirma que, para quaisquer
Dado que
é esse polinômio que passa pelos pontos
e
é construído exatamente para ser o polinômio que passa por esses pontos, eles devem ser iguais.
Resposta
Portanto,
sempre que os nós de interpolação
são distintos.