Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere com .
b) Com .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Antes disso, precisamos garantir que esse método pode ser aplicado aqui. O método de Gauss-Seidel é usado para resolver sistemas lineares iterativamente e funciona bem quando a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante ou simétrica e positiva definida. No nosso caso, vamos verificar se a matriz é diagonalmente dominante para garantir que o método funcione. Além disso, vamos começar com a suposição inicial de que todas as variáveis são zero () e usar uma tolerância de para determinar quando parar as iterações.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz do sistema é diagonalmente dominante. A matriz dos coeficientes é:
Para cada linha, comparamos o valor da diagonal principal com a soma dos valores absolutos dos outros elementos da linha:
Linha 1: → ✔️
Linha 2: → ✔️
Linha 3: → ✔️
Como todas as linhas satisfazem a condição de dominância diagonal, podemos usar o método de Gauss-Seidel.
Passo 3
Agora, vamos reorganizar as equações para isolarmos cada variável:
Passo 4
Iniciamos com a suposição inicial , , .
Iteração 1:
Passo 5
Iteração 2:
Usamos os valores da primeira iteração para calcular os novos valores:
Passo 6
Agora, verificamos a diferença entre os valores das iterações para ver se é menor que a tolerância :
Como nem todas as diferenças são menores que , precisamos realizar mais uma iteração.
Passo 7
Iteração 3:
Passo 8
Verificamos novamente as diferenças:
Todas as diferenças agora são menores que , então podemos parar as iterações.
Resposta
A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel, com , é: