Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere com xi^0=0 forall i.
b) l10 x1+x2+x3=12 2 x1+10 x2+x3=13 2 x1+2 x2+10 x3=14 Com varepsilon=0,3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Antes disso, precisamos garantir que esse método pode ser aplicado aqui. O método de Gauss-Seidel é usado para resolver sistemas lineares iterativamente e funciona bem quando a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante ou simétrica e positiva definida. No nosso caso, vamos verificar se a matriz é diagonalmente dominante para garantir que o método funcione. Além disso, vamos começar com a suposição inicial de que todas as variáveis são zero ( xi^0=0) e usar uma tolerância de varepsilon=0,3 para determinar quando parar as iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz do sistema é diagonalmente dominante. A matriz dos coeficientes é:
10 & 1 & 1 2 & 10 & 1 2 & 2 & 10
Para cada linha, comparamos o valor da diagonal principal com a soma dos valores absolutos dos outros elementos da linha:
  • Linha 1: 10 > 1 + 1 10 > 2 ✔️
  • Linha 2: 10 > 2 + 1 10 > 3 ✔️
  • Linha 3: 10 > 2 + 2 10 > 4 ✔️
Como todas as linhas satisfazem a condição de dominância diagonal, podemos usar o método de Gauss-Seidel.

Passo 3

Agora, vamos reorganizar as equações para isolarmos cada variável:
x1 = 12 - x2 - x310 x2 = 13 - 2x1 - x310 x3 = 14 - 2x1 - 2x210

Passo 4

Iniciamos com a suposição inicial x1^0=0, x2^0=0, x3^0=0.
Iteração 1:
x1^1 = 12 - 0 - 010 = 1,2 x2^1 = 13 - 2(0) - 010 = 1,3 x3^1 = 14 - 2(0) - 2(0)10 = 1,4

Passo 5

Iteração 2:
Usamos os valores da primeira iteração para calcular os novos valores:
x1^2 = 12 - 1,3 - 1,410 = 9,310 = 0,93 x2^2 = 13 - 2(1,2) - 1,410 = 13 - 2,4 - 1,410 = 9,210 = 0,92 x3^2 = 14 - 2(1,2) - 2(1,3)10 = 14 - 2,4 - 2,610 = 910 = 0,9

Passo 6

Agora, verificamos a diferença entre os valores das iterações para ver se é menor que a tolerância varepsilon=0,3:
|x1^2 - x1^1| = |0,93 - 1,2| = 0,27 < 0,3 |x2^2 - x2^1| = |0,92 - 1,3| = 0,38 > 0,3 |x3^2 - x3^1| = |0,9 - 1,4| = 0,5 > 0,3
Como nem todas as diferenças são menores que 0,3, precisamos realizar mais uma iteração.

Passo 7

Iteração 3:
x1^3 = 12 - 0,92 - 0,910 = 10,1810 = 1,018 x2^3 = 13 - 2(0,93) - 0,910 = 13 - 1,86 - 0,910 = 10,2410 = 1,024 x3^3 = 14 - 2(0,93) - 2(0,92)10 = 14 - 1,86 - 1,8410 = 10,310 = 1,03

Passo 8

Verificamos novamente as diferenças:
|x1^3 - x1^2| = |1,018 - 0,93| = 0,088 < 0,3 |x2^3 - x2^2| = |1,024 - 0,92| = 0,104 < 0,3 |x3^3 - x3^2| = |1,03 - 0,9| = 0,13 < 0,3
Todas as diferenças agora são menores que 0,3, então podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel, com varepsilon=0,3, é:
x1 approx 1,018 x2 approx 1,024 x3 approx 1,03

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