Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere com .
b) Com varepsilon=0,3.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Antes disso, precisamos garantir que esse método pode ser aplicado aqui. O método de Gauss-Seidel é usado para resolver sistemas lineares iterativamente e funciona bem quando a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante ou simétrica e positiva definida. No nosso caso, vamos verificar se a matriz é diagonalmente dominante para garantir que o método funcione. Além disso, vamos começar com a suposição inicial de que todas as variáveis são zero (xi^0=0) e usar uma tolerância de varepsilon=0,3 para determinar quando parar as iterações.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz do sistema é diagonalmente dominante. A matriz dos coeficientes é:
10 & 1 & 1 2 & 10 & 1 2 & 2 & 10
Para cada linha, comparamos o valor da diagonal principal com a soma dos valores absolutos dos outros elementos da linha:
Linha 1:10 > 1 + 1 → 10 > 2 ✔️
Linha 2:10 > 2 + 1 → 10 > 3 ✔️
Linha 3:10 > 2 + 2 → 10 > 4 ✔️
Como todas as linhas satisfazem a condição de dominância diagonal, podemos usar o método de Gauss-Seidel.
Passo 3
Agora, vamos reorganizar as equações para isolarmos cada variável: