Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere com .
b) Com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Antes disso, precisamos garantir que esse método pode ser aplicado aqui. O método de Gauss-Seidel é usado para resolver sistemas lineares iterativamente e funciona bem quando a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante ou simétrica e positiva definida. No nosso caso, vamos verificar se a matriz é diagonalmente dominante para garantir que o método funcione. Além disso, vamos começar com a suposição inicial de que todas as variáveis são zero ( ) e usar uma tolerância de para determinar quando parar as iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz do sistema é diagonalmente dominante. A matriz dos coeficientes é:
Para cada linha, comparamos o valor da diagonal principal com a soma dos valores absolutos dos outros elementos da linha:
  • Linha 1: ✔️
  • Linha 2: ✔️
  • Linha 3: ✔️
Como todas as linhas satisfazem a condição de dominância diagonal, podemos usar o método de Gauss-Seidel.

Passo 3

Agora, vamos reorganizar as equações para isolarmos cada variável:

Passo 4

Iniciamos com a suposição inicial , , .
Iteração 1:

Passo 5

Iteração 2:
Usamos os valores da primeira iteração para calcular os novos valores:

Passo 6

Agora, verificamos a diferença entre os valores das iterações para ver se é menor que a tolerância :
Como nem todas as diferenças são menores que , precisamos realizar mais uma iteração.

Passo 7

Iteração 3:

Passo 8

Verificamos novamente as diferenças:
Todas as diferenças agora são menores que , então podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel, com , é:

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Sejam as matrizes . Calcule:
Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Decomposição LU e considerando duas casas decimais.
Provar que