Prove que se
e
são inteiros, com
, então existem inteiros únicos
e
que satisfazem
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para provar que, se
e
são inteiros com
, então existem inteiros únicos
e
que satisfazem a equação
, onde
. Esse problema está relacionado ao teorema da divisão, que fala sobre dividir um número por outro e obter quociente e resto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do teorema da divisão padrão, que diz que para quaisquer inteiros
e
, existem únicos inteiros
e
tais que:
Isso significa que quando dividimos
por
, o resto
fica entre 0 e
.
Passo 3
Nossa meta é ajustar esse resultado para que o resto
fique entre
e
. Para isso, vamos supor que já temos
e
satisfazendo a divisão padrão. Observamos que se adicionarmos um múltiplo de
ao quociente e ao resto, podemos ajustar
para ficar no intervalo desejado.
Vamos definir:
Substituindo na equação original:
Agora, queremos que
esteja entre
e
:
Isso confirma que o resto
está dentro do intervalo desejado.
Passo 4
Agora, precisamos garantir que
e
sejam únicos. Suponha que existam dois pares diferentes
e
que satisfazem
e
com
.
Subtraindo as duas equações:
Como
está entre
e
(porque ambos
e
estão entre
e
), o único múltiplo de
nesse intervalo é zero. Portanto,
e
, o que implica
e
. Assim,
e
são únicos.
Resposta
Concluímos que, para quaisquer inteiros
e
, existem inteiros únicos
e
que satisfazem
, onde
.