Prove que se a e b são inteiros, com b>0, então existem inteiros únicos q e r que satisfazem a=q b+r, onde 2 b <= r<3 b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para provar que, se e são inteiros com , então existem inteiros únicos e que satisfazem a equação , onde . Esse problema está relacionado ao teorema da divisão, que fala sobre dividir um número por outro e obter quociente e resto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do teorema da divisão padrão, que diz que para quaisquer inteiros a = q' b + r', onde 0 <= r' < b e , existem únicos inteiros e tais que:
Isso significa que quando dividimos por , o resto fica entre 0 e .

Passo 3

Nossa meta é ajustar esse resultado para que o resto q = q' - 2 fique entre r = r' + 2b e a = q' b + r' = (q + 2) b + (r - 2b) = qb + r . Para isso, vamos supor que já temos 2b <= r = r' + 2b < b + 2b = 3b e satisfazendo a divisão padrão. Observamos que se adicionarmos um múltiplo de ao quociente e ao resto, podemos ajustar para ficar no intervalo desejado.
Vamos definir:
Substituindo na equação original:
Agora, queremos que esteja entre e :
Isso confirma que o resto está dentro do intervalo desejado.

Passo 4

Agora, precisamos garantir que q1 b + r1 = q2 b + r2 implies (q1 - q2) b = r2 - r1 e sejam únicos. Suponha que existam dois pares diferentes e que satisfazem e com .
Subtraindo as duas equações:
Como está entre e (porque ambos e estão entre e ), o único múltiplo de nesse intervalo é zero. Portanto, e , o que implica e . Assim, e são únicos.

Resposta

Concluímos que, para quaisquer inteiros e , existem inteiros únicos e que satisfazem , onde .

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