Seja
, tal que
. Prove que
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a função
é contínua em todos os números reais (
). Isso está relacionado ao assunto de continuidade de funções. Para resolver isso, a gente vai usar a definição de continuidade e alguns conceitos básicos de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual a
. Em termos matemáticos:
Passo 3
No nosso caso,
. Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de um ponto qualquer
:
Como
é uma constante, podemos tirá-la do limite:
Passo 4
Sabemos que o limite de
quando
se aproxima de
é simplesmente
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos comparar o limite que calculamos com o valor da função em
:
E temos que:
Passo 6
Como o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
para qualquer
em
, isso significa que a função
é contínua em todos os pontos de
.
Resposta
Portanto,
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Seja
, tal que
. Provar usando a definição de limite que
Seja
, tal que
. Provar usando a definição de limite que
Seja
, tal que
. Provar usando a definição de limite que
.
Prove que: