Seja f: R R, tal que f(x)=a x. Prove que f é contínua em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a função é contínua em todos os números reais ( ). Isso está relacionado ao assunto de continuidade de funções. Para resolver isso, a gente vai usar a definição de continuidade e alguns conceitos básicos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função limx to c f(x) = f(c) é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de for igual a . Em termos matemáticos:

Passo 3

No nosso caso, limx to c f(x) = limx to c a x . Vamos calcular o limite de limx to c a x = a cdot limx to c x quando se aproxima de um ponto qualquer :
Como é uma constante, podemos tirá-la do limite:

Passo 4

Sabemos que o limite de limx to c x = c quando a cdot limx to c x = a cdot c = a c se aproxima de é simplesmente :
Então:

Passo 5

Agora, vamos comparar o limite que calculamos com o valor da função em f(c) = a c :
limx to c f(x) = a c = f(c)
E temos que:

Passo 6

Como o limite de quando se aproxima de é igual a para qualquer em , isso significa que a função é contínua em todos os pontos de .

Resposta

Portanto, é contínua em .

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