Seja , tal que . Prove que é contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a função é contínua em todos os números reais ( ). Isso está relacionado ao assunto de continuidade de funções. Para resolver isso, a gente vai usar a definição de continuidade e alguns conceitos básicos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de for igual a . Em termos matemáticos:

Passo 3

No nosso caso, . Vamos calcular o limite de quando se aproxima de um ponto qualquer :
Como é uma constante, podemos tirá-la do limite:

Passo 4

Sabemos que o limite de quando se aproxima de é simplesmente :
Então:

Passo 5

Agora, vamos comparar o limite que calculamos com o valor da função em :
E temos que:

Passo 6

Como o limite de quando se aproxima de é igual a para qualquer em , isso significa que a função é contínua em todos os pontos de .

Resposta

Portanto, é contínua em .

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Seja , tal que . Provar usando a definição de limite que
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Seja , tal que . Provar usando a definição de limite que .
Prove que: