Prove que o máximo divisor comum de dois inteiros positivos divide o mínimo múltiplo comum deles.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o máximo divisor comum (MDC) de dois números inteiros positivos divide o mínimo múltiplo comum (MMC) deles. Vamos usar conceitos de teoria dos números, especificamente sobre MDC e MMC. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são MDC e MMC e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o MDC. O máximo divisor comum de dois números, digamos
e
, é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Por exemplo, o MDC de 12 e 18 é 6, porque 6 é o maior número que divide tanto 12 quanto 18.
Passo 3
Agora, o MMC é o menor número que é múltiplo comum de
e
. Usando o mesmo exemplo, o MMC de 12 e 18 é 36, pois 36 é o menor número que pode ser dividido por 12 e por 18 sem deixar resto.
Passo 4
Sabemos que existe uma relação importante entre MDC e MMC:
Essa fórmula mostra que o MMC é igual ao produto dos dois números dividido pelo seu MDC.
Passo 5
Nosso objetivo é provar que
divide
. Usando a fórmula acima, podemos reescrever o MMC como:
Isso significa que
é igual a um número inteiro (
) multiplicado por
.
Passo 6
Como
é igual a
vezes algum inteiro, fica claro que
divide
, pois dividir
por
resulta em um número inteiro, sem resto.
Resposta
Então, provamos que o máximo divisor comum de dois inteiros positivos divide o mínimo múltiplo comum deles.
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tais que
.
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.
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Considere o sistema linear:
Resolva-o pelo método de Eliminação de Gauss.