Prove que o máximo divisor comum de dois inteiros positivos divide o mínimo múltiplo comum deles.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o máximo divisor comum (MDC) de dois números inteiros positivos divide o mínimo múltiplo comum (MMC) deles. Vamos usar conceitos de teoria dos números, especificamente sobre MDC e MMC. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são MDC e MMC e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o MDC. O máximo divisor comum de dois números, digamos e , é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Por exemplo, o MDC de 12 e 18 é 6, porque 6 é o maior número que divide tanto 12 quanto 18.

Passo 3

Agora, o MMC é o menor número que é múltiplo comum de e . Usando o mesmo exemplo, o MMC de 12 e 18 é 36, pois 36 é o menor número que pode ser dividido por 12 e por 18 sem deixar resto.

Passo 4

Sabemos que existe uma relação importante entre MDC e MMC:
Essa fórmula mostra que o MMC é igual ao produto dos dois números dividido pelo seu MDC.

Passo 5

Nosso objetivo é provar que divide . Usando a fórmula acima, podemos reescrever o MMC como:
Isso significa que é igual a um número inteiro ( ) multiplicado por .

Passo 6

Como é igual a vezes algum inteiro, fica claro que divide , pois dividir por resulta em um número inteiro, sem resto.

Resposta

Então, provamos que o máximo divisor comum de dois inteiros positivos divide o mínimo múltiplo comum deles.

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Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros , tais que .
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a) Encontre inteiros tais que .
Considere o sistema linear:
Resolva-o pelo método de Eliminação de Gauss.