Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros x, y tais que 22 x+37 y=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação 22x + 37y = 1. Isso é um exemplo de uma equação diofantina linear, que busca encontrar inteiros x e y que satisfaçam a equação. Para resolver, vamos precisar usar o Algoritmo de Euclides e sua versão estendida, que nos ajudam a encontrar esses valores inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o Algoritmo de Euclides para encontrar o maior divisor comum (MDC) entre 22 e 37. O MDC nos diz se a equação tem solução em inteiros. Se o MDC for 1, então a equação tem solução, que é o nosso caso.

Passo 3

Vamos aplicar o Algoritmo de Euclides:
37 = 1 times 22 + 15
22 = 1 times 15 + 7
15 = 2 times 7 + 1
7 = 7 times 1 + 0
O último divisor diferente de zero é 1, então o MDC(22, 37) = 1.

Passo 4

Agora, vamos usar o Algoritmo de Euclides Estendido para expressar esse MDC como uma combinação linear de 22 e 37. Voltando aos passos anteriores:
1 = 15 - 2 times 7
Substituímos o valor de 7:
7 = 22 - 1 times 15
Então:
1 = 15 - 2 times (22 - 1 times 15) = 3 times 15 - 2 times 22
Agora, substituímos o valor de 15:
15 = 37 - 1 times 22
Portanto:
1 = 3 times (37 - 1 times 22) - 2 times 22 = 3 times 37 - 5 times 22

Passo 5

Comparando com a equação original 22x + 37y = 1, vemos que:
x = -5 e y = 3
Então, os inteiros que satisfazem a equação são x = -5 e y = 3.

Resposta

Os inteiros que satisfazem 22x + 37y = 1 são x = -5 e y = 3.

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