Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros
,
tais que
.
a) Encontre inteiros
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação
. Isso é um exemplo de uma equação diofantina linear, que busca encontrar inteiros
e
que satisfaçam a equação. Para resolver, vamos precisar usar o Algoritmo de Euclides e sua versão estendida, que nos ajudam a encontrar esses valores inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o Algoritmo de Euclides para encontrar o maior divisor comum (MDC) entre 22 e 37. O MDC nos diz se a equação tem solução em inteiros. Se o MDC for 1, então a equação tem solução, que é o nosso caso.
Passo 3
Vamos aplicar o Algoritmo de Euclides:
O último divisor diferente de zero é 1, então o MDC(22, 37) = 1.
Passo 4
Agora, vamos usar o Algoritmo de Euclides Estendido para expressar esse MDC como uma combinação linear de 22 e 37. Voltando aos passos anteriores:
Substituímos o valor de 7:
Então:
Agora, substituímos o valor de 15:
Portanto:
Passo 5
Comparando com a equação original
, vemos que:
Então, os inteiros que satisfazem a equação são
e
.
Resposta
Os inteiros que satisfazem
são
e
.