Quatro formandos da FANESE, André, Bernardo, Carlos e Daniel, se juntaram para organizar um churrasco. O número de convidados de Daniel é igual à soma do número de convidados de Bernardo e de Carlos. O número de convidados de Carlos é igual à soma do número de convidados de André e Bernardo. A soma do número de convidados de Bernardo, Carlos e Daniel é oito vezes o número de convidados de André. Sabendo que cada formando convidou pelo menos uma pessoa, e, no máximo, 15 pessoas, determine o número de convidados de cada formando.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de álgebra onde precisamos descobrir quantas pessoas cada um dos quatro formandos convidou para o churrasco. Vamos usar equações para resolver isso. Precisaremos definir variáveis para representar o número de convidados de cada pessoa e depois montar um sistema de equações com base nas informações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • = número de convidados do André
  • = número de convidados do Bernardo
  • = número de convidados do Carlos
  • = número de convidados do Daniel

Passo 3

Agora, vamos traduzir as informações do problema em equações:
  1. “O número de convidados de Daniel é igual à soma do número de convidados de Bernardo e de Carlos.”
    D = B + C
  2. “O número de convidados de Carlos é igual à soma do número de convidados de André e Bernardo.”
    C = A + B
  3. “A soma do número de convidados de Bernardo, Carlos e Daniel é oito vezes o número de convidados de André.”
    B + C + D = 8A

Passo 4

Vamos substituir B + C + (B + C) = 8A 2B + 2C = 8A B + C = 4A na terceira equação usando a primeira equação ( ):

Passo 5

Agora, substituímos B + (A + B) = 4A A + 2B = 4A 2B = 3A B = 3A2 na equação usando a segunda equação ( ):

Passo 6

Com C = A + 3A2 = 5A2 , vamos encontrar usando a segunda equação ( ):

Passo 7

Agora, encontramos D = 3A2 + 5A2 = 4A usando a primeira equação ( ):

Passo 8

Como cada formando convidou no máximo 15 pessoas e pelo menos 1, vamos testar valores inteiros para B = 3 times 22 = 3 C = 5 times 22 = 5 D = 4 times 2 = 8 que satisfaçam , e também sendo inteiros e dentro do intervalo.
Sabemos que e , então precisa ser múltiplo de 2 para que e sejam inteiros.
Vamos testar :
Verificando se todos estão entre 1 e 15: 2, 3, 5, 8 – tudo certo!

Resposta

André convidou 2 pessoas, Bernardo convidou 3 pessoas, Carlos convidou 5 pessoas e Daniel convidou 8 pessoas.

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