O sistema linear nas incógnitas x, y e z :
l x-y=10+z y-z=5-x z+x=7+y
pode ser escrito na forma matricial A X=B, em que:
X=[l x y z ] e B=[c 10 5 7 ]
Nessas condições, o determinante da matriz A é igual a:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três incógnitas: , e . O objetivo é encontrar o determinante da matriz que representa esse sistema na forma matricial . Para isso, vamos precisar:
  • Entender como escrever o sistema na forma matricial.
  • Calcular o determinante dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de forma mais simples. As equações dadas são:
x - y = 10 + z y - z = 5 - x z + x = 7 + y
Vamos organizar cada equação para deixar tudo em um lado, ficando igual a zero:

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz A = 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1 com os coeficientes das incógnitas B = 10 5 7 , e :
E o vetor ficará assim:

Passo 4

Nossa missão é encontrar o determinante da matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante de uma matriz A = a & b & c d & e & f g & h & i é calculado assim:
Onde:

Passo 5

Aplicando os valores da matriz a = 1, b = -1, c = -1 d = 1, e = 1, f = -1 g = 1, h = -1, i = 1 :
det(A) = 1 times (1 times 1 - (-1) times (-1)) - (-1) times (1 times 1 - (-1) times 1) + (-1) times (1 times (-1) - 1 times 1)
Substituindo na fórmula do determinante:

Passo 6

Vamos calcular cada parte passo a passo:
  1. Primeiro termo:
1 times (1 times 1 - (-1) times (-1)) = 1 times (1 - 1) = 1 times 0 = 0
  1. Segundo termo:
-(-1) times (1 times 1 - (-1) times 1) = 1 times (1 + 1) = 1 times 2 = 2
  1. Terceiro termo:
-1 times (1 times (-1) - 1 times 1) = -1 times (-1 - 1) = -1 times (-2) = 2

Passo 7

Agora, somamos todos os termos calculados:
0 + 2 + 2 = 4

Resposta

O determinante da matriz é igual a 4, correspondente à opção b).

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