Questão
Uma parede de madeira de 5 cm de espessura separa uma sala para banho de sauna do ambiente. A temperatura da sala é mantida a 70^circ C. A temperatura externa é de 20^circ C, a quantidade de calor que atravessa uma unidade de superfície do material é de 20 cal. Qual a condutividade térmica durante o tempo de 5 minutos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma parede de madeira com 5 cm de espessura que separa uma sala de sauna (a 70°C) do ambiente externo (a 20°C). A quantidade de calor que passa por uma unidade de superfície dessa parede em 5 minutos é de 20 cal. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a condutividade térmica desse material durante esse período. Para isso, vamos usar o conceito de condução de calor e a Lei de Fourier, que nos ajuda a relacionar essas grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos listar o que sabemos e o que precisamos:
  • Espessura da parede (d): 5 cm
  • Temperatura interna (T₁): 70°C
  • Temperatura externa (T₂): 20°C
  • Quantidade de calor (Q): 20 cal por unidade de área
  • Tempo (t): 5 minutos
Queremos encontrar a condutividade térmica (k).

Passo 3

Vamos ajustar as unidades para que tudo fique coerente:
  • Espessura (d): 5 cm = 0,05 metros
  • Temperatura diferença (ΔT): 70°C - 20°C = 50°C
  • Tempo (t): 5 minutos = 300 segundos
  • Calorias para Joules: 1 cal = 4,184 J → 20 cal = 83,68 J

Passo 4

A Lei de Fourier para condução de calor é dada por:
Q = k cdot A cdot ΔT cdot td
Como a quantidade de calor é por unidade de área (A = 1 m²), a fórmula simplifica para:
Q = k cdot ΔT cdot td
Queremos isolar k:
k = Q cdot dΔT cdot t

Passo 5

Agora, substituímos os valores na equação:
k = 83,68 J times 0,05 m50 °C times 300 s
k = 4,184 J cdot m15000 °C cdot s
k approx 0,000279 W/(m cdot K)

Resposta

A condutividade térmica é aproximadamente 2,79 times 10^-4 W/(m cdot K).

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