As raízes de
podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
b)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.
Considerando os processo iterativos:
b)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as raízes da função
usando o Método do Ponto Fixo (MPF). Para isso, vamos analisar o processo iterativo dado:
. Vamos precisar entender como funciona o MPF e o critério de convergência para verificar se esse processo vai realmente nos levar à raiz da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Método do Ponto Fixo. Ele é uma técnica numérica para encontrar soluções de equações na forma
. A ideia é começar com um valor inicial
e, a partir dele, calcular
, depois
, e assim por diante, esperando que essa sequência de valores se aproxime de uma solução.
No nosso caso, a função
é
. Então, nossa fórmula iterativa é:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o critério de convergência do MPF. Para garantir que a sequência
vai realmente convergir para uma raiz, a derivada de
deve ter módulo menor que 1 no ponto fixo
, ou seja:
Então, precisamos encontrar a derivada de
:
Vamos verificar esse critério para garantir que o método vai funcionar.
Passo 4
Vamos encontrar a raiz da equação
. Primeiro, tentamos resolver essa equação:
Isso mostra que a raiz
é um ponto fixo da função
.
Passo 5
Agora, vamos verificar o critério de convergência. Sabemos que
. Para que
, precisamos que:
Portanto, para garantir a convergência, a raiz
deve ser menor que 2.
Passo 6
Vamos agora escolher um valor inicial
próximo de onde esperamos que a raiz esteja. Sabemos que
deve ser positivo porque
está definida apenas para
.
Vamos escolher
e aplicar o processo iterativo:
Vemos que os valores estão se aproximando de 0,1595…
Passo 7
Para garantir que estamos chegando perto da raiz, vamos verificar a função
nesse valor:
Isso confirma que estamos encontrando uma raiz da equação.
Resposta
A raiz da equação
utilizando o Método do Ponto Fixo com o processo iterativo
converge para aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Usando o método de Newton, resolva as equações com precisão
:
c)
c)
Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão
:
b)
b)
Seja
e
. Dado que o intervalo inicial é
, encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo o método do ponto fixo com precisão
. Sugestão: Considere a função de interação
.