As raízes de podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
b)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as raízes da função usando o Método do Ponto Fixo (MPF). Para isso, vamos analisar o processo iterativo dado: . Vamos precisar entender como funciona o MPF e o critério de convergência para verificar se esse processo vai realmente nos levar à raiz da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Método do Ponto Fixo. Ele é uma técnica numérica para encontrar soluções de equações na forma . A ideia é começar com um valor inicial e, a partir dele, calcular , depois , e assim por diante, esperando que essa sequência de valores se aproxime de uma solução.
No nosso caso, a função é . Então, nossa fórmula iterativa é:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o critério de convergência do MPF. Para garantir que a sequência vai realmente convergir para uma raiz, a derivada de deve ter módulo menor que 1 no ponto fixo , ou seja:
Então, precisamos encontrar a derivada de :
Vamos verificar esse critério para garantir que o método vai funcionar.

Passo 4

Vamos encontrar a raiz da equação . Primeiro, tentamos resolver essa equação:
Isso mostra que a raiz é um ponto fixo da função .

Passo 5

Agora, vamos verificar o critério de convergência. Sabemos que . Para que , precisamos que:
Portanto, para garantir a convergência, a raiz deve ser menor que 2.

Passo 6

Vamos agora escolher um valor inicial próximo de onde esperamos que a raiz esteja. Sabemos que deve ser positivo porque está definida apenas para .
Vamos escolher e aplicar o processo iterativo:
Vemos que os valores estão se aproximando de 0,1595…

Passo 7

Para garantir que estamos chegando perto da raiz, vamos verificar a função nesse valor:
Isso confirma que estamos encontrando uma raiz da equação.

Resposta

A raiz da equação utilizando o Método do Ponto Fixo com o processo iterativo converge para aproximadamente .

Exercícios relacionados

Usando o método de Newton, resolva as equações com precisão :
c)
Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão :
b)
Seja e . Dado que o intervalo inicial é , encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo o método do ponto fixo com precisão . Sugestão: Considere a função de interação .