As raízes de f(x)=ln (x)-x+2=0 podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
b) xi+1=e^xi-2
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as raízes da função usando o Método do Ponto Fixo (MPF). Para isso, vamos analisar o processo iterativo dado: . Vamos precisar entender como funciona o MPF e o critério de convergência para verificar se esse processo vai realmente nos levar à raiz da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Método do Ponto Fixo. Ele é uma técnica numérica para encontrar soluções de equações na forma xi+1 = e^xi - 2 . A ideia é começar com um valor inicial e, a partir dele, calcular , depois , e assim por diante, esperando que essa sequência de valores se aproxime de uma solução.
No nosso caso, a função é . Então, nossa fórmula iterativa é:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o critério de convergência do MPF. Para garantir que a sequência |g'(alpha)| < 1 vai realmente convergir para uma raiz, a derivada de g'(x) = ddx e^x - 2 = e^x - 2 deve ter módulo menor que 1 no ponto fixo , ou seja:
Então, precisamos encontrar a derivada de :
Vamos verificar esse critério para garantir que o método vai funcionar.

Passo 4

Vamos encontrar a raiz da equação ln(x) - x + 2 = 0 . Primeiro, tentamos resolver essa equação:
ln(x) = x - 2
x = e^x - 2
Isso mostra que a raiz é um ponto fixo da função .

Passo 5

Agora, vamos verificar o critério de convergência. Sabemos que e^alpha - 2 < 1 . Para que alpha - 2 < 0 , precisamos que:
alpha < 2
Portanto, para garantir a convergência, a raiz deve ser menor que 2.

Passo 6

Vamos agora escolher um valor inicial x1 = e^1 - 2 = e^-1 approx 0,3679 próximo de onde esperamos que a raiz esteja. Sabemos que x2 = e^0,3679 - 2 = e^-1,6321 approx 0,1954 deve ser positivo porque x3 = e^0,1954 - 2 = e^-1,8046 approx 0,1641 está definida apenas para x4 = e^0,1641 - 2 = e^-1,8359 approx 0,1603 .
Vamos escolher x5 = e^0,1603 - 2 = e^-1,8397 approx 0,1595 e aplicar o processo iterativo:
Vemos que os valores estão se aproximando de 0,1595…

Passo 7

Para garantir que estamos chegando perto da raiz, vamos verificar a função f(0,1595) = ln(0,1595) - 0,1595 + 2 approx -1,8405 - 0,1595 + 2 = 0 nesse valor:
Isso confirma que estamos encontrando uma raiz da equação.

Resposta

A raiz da equação utilizando o Método do Ponto Fixo com o processo iterativo converge para aproximadamente .

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