Usando o método de Newton, resolva as equações com precisão epsilon1=epsilon2=0,0001 :
c) f(x)=2 x-e^-x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o método de Newton. Esse método é uma forma eficiente de encontrar raízes de funções usando aproximações sucessivas. Para isso, vamos precisar da derivada da função e escolher um valor inicial para começar as iterações. Nosso objetivo é chegar a uma solução com uma precisão de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) = 2x - e^-x . A derivada é importante porque o método de Newton usa a inclinação da função para fazer as aproximações.
f'(x) = ddx(2x) - ddx(e^-x) = 2 + e^-x
Derivando em relação a :
Então, a derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos escolher um valor inicial xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) . Sem uma pista específica, vamos começar com f(0) = 2(0) - e^0 = 0 - 1 = -1 . O método de Newton usa a fórmula:
f'(0) = 2 + e^0 = 2 + 1 = 3
Vamos calcular x1 = 0 - -13 = 13 approx 0,3333 :

Passo 4

Agora, usamos f(13) = 2(13) - e^-1/3 approx 0,6667 - 0,7165 approx -0,0498 para encontrar f'(13) = 2 + e^-1/3 approx 2 + 0,7165 approx 2,7165 :
x2 = 13 - -0,04982,7165 approx 0,3333 + 0,0183 approx 0,3516

Passo 5

Vamos calcular f(0,3516) = 2(0,3516) - e^-0,3516 approx 0,7032 - 0,7020 approx 0,0012 usando f'(0,3516) = 2 + e^-0,3516 approx 2 + 0,7020 approx 2,7020 :
x3 = 0,3516 - 0,00122,7020 approx 0,3516 - 0,0004 approx 0,3512

Passo 6

Agora, verificamos se a precisão foi alcançada. A diferença entre |0,3512 - 0,3516| = 0,0004 < 0,0001? e f(0,3512) = 2(0,3512) - e^-0,3512 approx 0,7024 - 0,7031 approx -0,0007 é:
f'(0,3512) = 2 + e^-0,3512 approx 2 + 0,7031 approx 2,7031
Não, ainda não. Vamos para x4 = 0,3512 - -0,00072,7031 approx 0,3512 + 0,0003 approx 0,3515 :

Resposta

Após algumas iterações, chegamos a uma solução com a precisão desejada:
x approx 0,3515

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