Seja f(x)=x^3-9 x+3 e x0=0,5. Dado que o intervalo inicial é I=[0,1], encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo o método do ponto fixo com precisão epsilon1=epsilon2=0.01. Sugestão: Considere a função de interação : varphi(x)=x^3+39.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e queremos encontrar uma raiz dessa função no intervalo , ou seja, um valor de que faça . Para isso, vamos usar o método do ponto fixo, começando com e buscando uma precisão de . A dica que nos deram é usar a função de interação . Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método do ponto fixo. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar aproximações das raízes de uma função. A ideia é reescrever a equação na forma e, então, começar com uma estimativa inicial e calcular , depois , e assim por diante, até que a diferença entre as aproximações seja menor que a precisão desejada.

Passo 3

Vamos aplicar a função de interação para encontrar as próximas aproximações:
Começamos com
Calcular
Agora, calcular
Vamos calcular
Então,
Como a diferença entre e é , que é menor que a precisão , podemos parar aqui.

Resposta

A raiz da função no intervalo pelo método do ponto fixo é aproximadamente .

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