Usando o método de Newton, resolva as equações com precisão epsilon1=epsilon2=0,0001 :
a) f(x)=x-sen(x)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação f(x) = x - sin(x) = 0 usando o Método de Newton. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar da função f(x) e da sua derivada f'(x). Nosso objetivo é encontrar um valor de x que deixa f(x) o mais próximo possível de zero, com uma precisão de 0,0001.

Passo 2

Primeiro, escolhemos um palpite inicial. Vamos começar com x0 = 2. Esse valor é uma estimativa inicial e pode ser ajustado durante o processo.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de f(x).
A função dada é:
f(x) = x - sin(x)
A derivada de f(x) em relação a x é:
f'(x) = 1 - cos(x)

Passo 4

Aplicamos a fórmula do Método de Newton para encontrar o próximo palpite ( x1):
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Substituindo n=0:
x1 = 2 - 2 - sin(2)1 - cos(2)
Calculando os valores numéricos:
sin(2) approx 0,9093 cos(2) approx -0,4161
Então:
f(x0) = 2 - 0,9093 = 1,0907 f'(x0) = 1 - (-0,4161) = 1,4161 x1 = 2 - 1,09071,4161 approx 2 - 0,7700 = 1,2300

Passo 5

Repetimos o processo com x1 = 1,2300:
x2 = 1,2300 - 1,2300 - sin(1,2300)1 - cos(1,2300)
Calculando:
sin(1,2300) approx 0,9421 cos(1,2300) approx 0,3344
Então:
f(x1) = 1,2300 - 0,9421 = 0,2879 f'(x1) = 1 - 0,3344 = 0,6656 x2 = 1,2300 - 0,28790,6656 approx 1,2300 - 0,4323 = 0,7977

Passo 6

Continuamos com x2 = 0,7977:
x3 = 0,7977 - 0,7977 - sin(0,7977)1 - cos(0,7977)
Calculando:
sin(0,7977) approx 0,7173 cos(0,7977) approx 0,6965
Então:
f(x2) = 0,7977 - 0,7173 = 0,0804 f'(x2) = 1 - 0,6965 = 0,3035 x3 = 0,7977 - 0,08040,3035 approx 0,7977 - 0,2650 = 0,5327

Passo 7

Repetimos com x3 = 0,5327:
x4 = 0,5327 - 0,5327 - sin(0,5327)1 - cos(0,5327)
Calculando:
sin(0,5327) approx 0,5080 cos(0,5327) approx 0,8612
Então:
f(x3) = 0,5327 - 0,5080 = 0,0247 f'(x3) = 1 - 0,8612 = 0,1388 x4 = 0,5327 - 0,02470,1388 approx 0,5327 - 0,1780 = 0,3547

Passo 8

Continuamos com x4 = 0,3547:
x5 = 0,3547 - 0,3547 - sin(0,3547)1 - cos(0,3547)
Calculando:
sin(0,3547) approx 0,3480 cos(0,3547) approx 0,9382
Então:
f(x4) = 0,3547 - 0,3480 = 0,0067 f'(x4) = 1 - 0,9382 = 0,0618 x5 = 0,3547 - 0,00670,0618 approx 0,3547 - 0,1084 = 0,2463

Passo 9

Repetimos com x5 = 0,2463:
x6 = 0,2463 - 0,2463 - sin(0,2463)1 - cos(0,2463)
Calculando:
sin(0,2463) approx 0,2434 cos(0,2463) approx 0,9705
Então:
f(x5) = 0,2463 - 0,2434 = 0,0029 f'(x5) = 1 - 0,9705 = 0,0295 x6 = 0,2463 - 0,00290,0295 approx 0,2463 - 0,0983 = 0,1480

Passo 10

Continuamos com x6 = 0,1480:
x7 = 0,1480 - 0,1480 - sin(0,1480)1 - cos(0,1480)
Calculando:
sin(0,1480) approx 0,1477 cos(0,1480) approx 0,9892
Então:
f(x6) = 0,1480 - 0,1477 = 0,0003 f'(x6) = 1 - 0,9892 = 0,0108 x7 = 0,1480 - 0,00030,0108 approx 0,1480 - 0,0278 = 0,1202

Passo 11

Verificamos a diferença entre x7 e x6:
|0,1202 - 0,1480| = 0,0278
Como ainda não atingimos a precisão desejada ( 0,0001), continuamos as iterações.

Passo 12

Repetimos o processo até que a diferença entre as iterações seja menor que 0,0001. Após algumas iterações adicionais, chegamos ao valor convergente:

Resposta

A solução da equação x - sin(x) = 0 pelo Método de Newton, com precisão epsilon1 = epsilon2 = 0,0001, é aproximadamente:
x approx 0,0

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