Usando o método de Newton, resolva as equações com precisão
:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
usando o Método de Newton. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar da função
e da sua derivada
. Nosso objetivo é encontrar um valor de
que deixa
o mais próximo possível de zero, com uma precisão de
.
Passo 2
Primeiro, escolhemos um palpite inicial. Vamos começar com
. Esse valor é uma estimativa inicial e pode ser ajustado durante o processo.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
.
A função dada é:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Aplicamos a fórmula do Método de Newton para encontrar o próximo palpite (
):
Substituindo
:
Calculando os valores numéricos:
Então:
Passo 5
Repetimos o processo com
:
Calculando:
Então:
Passo 6
Continuamos com
:
Calculando:
Então:
Passo 7
Repetimos com
:
Calculando:
Então:
Passo 8
Continuamos com
:
Calculando:
Então:
Passo 9
Repetimos com
:
Calculando:
Então:
Passo 10
Continuamos com
:
Calculando:
Então:
Passo 11
Verificamos a diferença entre
e
:
Como ainda não atingimos a precisão desejada (
), continuamos as iterações.
Passo 12
Repetimos o processo até que a diferença entre as iterações seja menor que
. Após algumas iterações adicionais, chegamos ao valor convergente:
Resposta
A solução da equação
pelo Método de Newton, com precisão
, é aproximadamente: