Seja a função f(x)=cos ^2 x+2 x-2. Usando o método de Newton-Raphson com x0=0,6 e 2 iterações, encontre uma aproximação para a raiz.
(a) 0,71483
(b) 0,70056
© 0,71998
(d) 0,71875
(e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar uma aproximação para a raiz da função usando o método de Newton-Raphson. A matéria que vamos usar aqui é o método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. Para resolver, precisamos da função , da sua derivada , de um ponto inicial (que aqui é 0,6) e do número de iterações (2, nesse caso).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(0,6) = cos^2(0,6) + 2 times 0,6 - 2 e cos(0,6) approx 0,8253 Rightarrow cos^2(0,6) approx 0,6810 onde f(0,6) approx 0,6810 + 1,2 - 2 = -0,1190 .
A função é f'(x) = -2cos(x)sin(x) + 2 .
Calculando f'(0,6) = -2 times 0,8253 times 0,5646 + 2 approx -0,9326 + 2 = 1,0674 :
Agora, a derivada de :
Calculando :

Passo 3

Aplicando a fórmula de Newton-Raphson para encontrar x1 = x0 - f(x0)f'(x0) :
x1 = 0,6 - -0,11901,0674 approx 0,6 + 0,1114 = 0,7114

Passo 4

Agora, vamos calcular f(0,7114) = cos^2(0,7114) + 2 times 0,7114 - 2 e cos(0,7114) approx 0,7571 Rightarrow cos^2(0,7114) approx 0,5732 onde f(0,7114) approx 0,5732 + 1,4228 - 2 = -0,0040 .
Calculando f'(0,7114) = -2 times 0,7571 times 0,6542 + 2 approx -0,9894 + 2 = 1,0106 :
Calculando :

Passo 5

Agora, aplicamos novamente a fórmula para encontrar x2 = x1 - f(x1)f'(x1) :
x2 = 0,7114 - -0,00401,0106 approx 0,7114 + 0,0040 = 0,7154

Resposta

A aproximação para a raiz após 2 iterações é 0,71483 (opção a).

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