Represente os seguintes números decimais numa máquina de calcular de 16 bits que utiliza o sistema de aritmética de ponto flutuante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa representar o número decimal -5342,01 numa máquina de calcular que usa aritmética de ponto flutuante com um sistema chamado F(2,10,-15,15), tudo isso em 16 bits. Basicamente, vamos transformar esse número em uma forma binária que a máquina entende, usando 2 bits pra mantissa e 10 bits pra expoente, considerando exponentes de -15 a +15. Para isso, vamos precisar entender como funciona a representação de ponto flutuante, incluindo sinal, mantissa e expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o sinal do número. Como é -5342,01, o bit de sinal será 1 (geralmente, 1 indica número negativo).
Passo 3
Agora, vamos transformar o valor absoluto do número, ou seja, 5342,01, para binário. Vamos fazer isso separando a parte inteira da parte decimal.
Parte Inteira (5342):
- 5342 dividido por 2:
- 5342 ÷ 2 = 2671, resto 0
- 2671 ÷ 2 = 1335, resto 1
- 1335 ÷ 2 = 667, resto 1
- 667 ÷ 2 = 333, resto 1
- 333 ÷ 2 = 166, resto 1
- 166 ÷ 2 = 83, resto 0
- 83 ÷ 2 = 41, resto 1
- 41 ÷ 2 = 20, resto 1
- 20 ÷ 2 = 10, resto 0
- 10 ÷ 2 = 5, resto 0
- 5 �� 2 = 2, resto 1
- 2 ÷ 2 = 1, resto 0
- 1 ÷ 2 = 0, resto 1
Lendo os restos de baixo para cima, a parte inteira em binário é 1010011111110.
Parte Decimal (0,01):
- Multiplicamos por 2:
- 0,01 × 2 = 0,02 → 0
- 0,02 × 2 = 0,04 → 0
- 0,04 × 2 = 0,08 → 0
- … (Continua a repetir 0, então simplificamos para 0)
Então, a parte decimal em binário é aproximadamente 0.
Juntando as duas partes, temos 1010011111110.0 em binário.
Passo 4
Agora, vamos normalizar esse número binário. Normalização significa ajustar o número para que tenha apenas um dígito diferente de zero antes da vírgula binária.
1010011111110.0 em forma normalizada fica 1,010011111110 × 2¹².
Aqui, deslocamos a vírgula 12 posições para a esquerda para ficar após o primeiro 1, então o expoente é 12.
Passo 5
Vamos agora identificar a mantissa e o expoente na representação F(2,10,-15,15).
-
Mantissa: Já que temos apenas 2 bits para a mantissa, consideramos os dois dígitos após a vírgula na forma normalizada. Então, a mantissa é 01.
-
Expoente: Precisamos representar o expoente 12 em binário com 10 bits.
Convertendo 12 para binário:
- 12 em binário é 0000001100 (com 10 bits).
Passo 6
Agora, juntamos tudo para formar os 16 bits da representação:
- Bit de Sinal: 1
- Mantissa: 01
- Expoente: 0000001100
Então, a representação completa fica:
1 | 01 | 0000001100
Em bits, isso é: 10100000001100
Resposta
A representação de -5342,01 no sistema F(2,10,-15,15) de 16 bits é 10100000001100.
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e
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. Para o processo iterativo definido por
; analisar no intervalo
a convergência quando:
.
Sabendo que a função
intercepta o eixo das abscissas no intervalo
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com tolerância
usando os seguintes métodos: Método de Newton com
.