Sabendo que
pode ser transformado num problema equivalente da forma
. Para o processo iterativo definido por
; analisar no intervalo
a convergência quando:
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma equação
que a gente quer resolver. Para isso, transformamos essa equação em um problema de ponto fixo na forma
, onde
. O objetivo é usar um processo iterativo definido por
para analisar se vamos chegar a uma solução no intervalo
. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma iteração de ponto fixo e verificar se a função
é uma contração nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma iteração de ponto fixo. É um método para encontrar soluções de equações na forma
repetidamente aplicando a função
até que os valores comecem a se estabilizar. Basicamente, a gente escolhe um valor inicial
e calcula
, depois
, e assim por diante, esperando que esses valores se aproximem de uma solução.
Passo 3
Pra garantir que o processo de iteração vai realmente funcionar e convergir para uma solução, precisamos que a função
seja uma contração no intervalo
. Uma função é chamada de contração se a sua derivada em módulo for menor que 1 em todo o intervalo considerado. Isso significa que a função está “puxando” os valores para mais perto de um ponto fixo.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. A derivada é:
O módulo da derivada é:
Agora, vamos avaliar
no intervalo
:
- Para
: - Para
:
Então, no intervalo
,
varia de aproximadamente 0.4966 a 0.6065, ambos menores que 1.
Passo 5
Como
em todo o intervalo
, isso significa que
é uma contração nesse intervalo. De acordo com o Teorema do Ponto Fixo de Banach, se uma função é uma contração em um intervalo fechado e limitado, então existe exatamente um ponto fixo nesse intervalo, e o processo iterativo vai convergir para esse ponto.
Resposta
O processo iterativo definido por
converge no intervalo
.
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