Sabendo que f(x)=x+ln x=0 pode ser transformado num problema equivalente da forma x=psi(x). Para o processo iterativo definido por xk+1=psi(xk); analisar no intervalo [0.5,0.7] a convergência quando: psi(x)=e^-x.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação que a gente quer resolver. Para isso, transformamos essa equação em um problema de ponto fixo na forma , onde . O objetivo é usar um processo iterativo definido por para analisar se vamos chegar a uma solução no intervalo . Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma iteração de ponto fixo e verificar se a função é uma contração nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma iteração de ponto fixo. É um método para encontrar soluções de equações na forma repetidamente aplicando a função até que os valores comecem a se estabilizar. Basicamente, a gente escolhe um valor inicial e calcula , depois , e assim por diante, esperando que esses valores se aproximem de uma solução.

Passo 3

Pra garantir que o processo de iteração vai realmente funcionar e convergir para uma solução, precisamos que a função seja uma contração no intervalo . Uma função é chamada de contração se a sua derivada em módulo for menor que 1 em todo o intervalo considerado. Isso significa que a função está “puxando” os valores para mais perto de um ponto fixo.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de psi'(x) = -e^-x . A derivada é:
|psi'(x)| = e^-x
O módulo da derivada é:
Agora, vamos avaliar no intervalo :
  • Para :
  • Para :
Então, no intervalo , varia de aproximadamente 0.4966 a 0.6065, ambos menores que 1.

Passo 5

Como em todo o intervalo , isso significa que é uma contração nesse intervalo. De acordo com o Teorema do Ponto Fixo de Banach, se uma função é uma contração em um intervalo fechado e limitado, então existe exatamente um ponto fixo nesse intervalo, e o processo iterativo vai convergir para esse ponto.

Resposta

O processo iterativo definido por converge no intervalo .

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