Sabendo que a função
intercepta o eixo das abscissas no intervalo
. Pede-se para calcular o valor de
com tolerância
usando os seguintes métodos: Método de Newton com
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e sabemos que ela intercepta o eixo das abscissas no intervalo
. Nosso objetivo é encontrar o valor aproximado de
que satisfaz
utilizando o Método de Newton, começando com
e com uma tolerância de
. Para isso, vamos precisar aplicar o Método de Newton, que é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona o Método de Newton. Ele serve para encontrar aproximações sucessivas para a raiz de uma função. A fórmula do Método de Newton é:
onde
é a derivada de
. Então, precisamos calcular a derivada da nossa função
.
A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então,
Passo 3
Vamos iniciar as iterações com
.
Primeiro, calculamos
e
:
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton para encontrar
:
Passo 4
Em seguida, verificamos a diferença entre
e
:
Como
, precisamos continuar as iterações.
Passo 5
Calculamos
e
:
Aplicamos novamente a fórmula do Método de Newton para encontrar
:
Passo 6
Verificamos a diferença entre
e
:
Como
, continuamos as iterações.
Passo 7
Calculamos
e
:
Aplicamos a fórmula novamente para encontrar
:
Passo 8
Calculamos a diferença entre
e
:
Como
, seguimos com mais iterações.
Passo 9
Repetimos o processo até que a diferença entre as iterações seja menor que
. Continuando dessa forma, vamos ajustando
até alcançar a tolerância desejada.
Resposta
Após várias iterações utilizando o Método de Newton, encontramos o valor aproximado de
que satisfaz
com a tolerância
. O valor final aproximado é: