Sabendo que a função f(x)=sen(x)-e^x intercepta o eixo das abscissas no intervalo [-4,-3]. Pede-se para calcular o valor de barx com tolerância |xi+1-xi|<10^-4 usando os seguintes métodos: Método de Newton com x0=-4.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e sabemos que ela intercepta o eixo das abscissas no intervalo . Nosso objetivo é encontrar o valor aproximado de que satisfaz utilizando o Método de Newton, começando com e com uma tolerância de . Para isso, vamos precisar aplicar o Método de Newton, que é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o Método de Newton. Ele serve para encontrar aproximações sucessivas para a raiz de uma função. A fórmula do Método de Newton é:
xi+1 = xi - f(xi)f'(xi)
onde f'(x) = cos(x) - e^x é a derivada de . Então, precisamos calcular a derivada da nossa função .
A derivada de é e a derivada de é . Então,

Passo 3

Vamos iniciar as iterações com f(-4) = sin(-4) - e^-4 approx -0.7568 - 0.0183 = -0.7751 .
Primeiro, calculamos f'(-4) = cos(-4) - e^-4 approx -0.6536 - 0.0183 = -0.6719 e x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = -4 - -0.7751-0.6719 approx -4 - 1.1522 = -5.1522 :
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton para encontrar :

Passo 4

Em seguida, verificamos a diferença entre |x1 - x0| = |-5.1522 - (-4)| = 1.1522 e :
Como , precisamos continuar as iterações.

Passo 5

Calculamos f(-5.1522) = sin(-5.1522) - e^-5.1522 approx sin(5.1522) approx -0.9213 e e^-5.1522 approx 0.0058 e f(-5.1522) approx -0.9213 - 0.0058 = -0.9271 :
f'(-5.1522) = cos(-5.1522) - e^-5.1522 approx cos(5.1522) approx 0.3982 e e^-5.1522 approx 0.0058
f'(-5.1522) approx 0.3982 - 0.0058 = 0.3924
x2 = x1 - f(x1)f'(x1) = -5.1522 - -0.92710.3924 approx -5.1522 + 2.3643 = -2.7879
Aplicamos novamente a fórmula do Método de Newton para encontrar :

Passo 6

Verificamos a diferença entre |x2 - x1| = |-2.7879 - (-5.1522)| = 2.3643 e :
Como , continuamos as iterações.

Passo 7

Calculamos f(-2.7879) = sin(-2.7879) - e^-2.7879 approx sin(2.7879) approx 0.3428 e e^-2.7879 approx 0.0614 e f(-2.7879) approx 0.3428 - 0.0614 = 0.2814 :
f'(-2.7879) = cos(-2.7879) - e^-2.7879 approx cos(2.7879) approx -0.9406 e e^-2.7879 approx 0.0614
f'(-2.7879) approx -0.9406 - 0.0614 = -1.0020
x3 = x2 - f(x2)f'(x2) = -2.7879 - 0.2814-1.0020 approx -2.7879 + 0.2810 = -2.5069
Aplicamos a fórmula novamente para encontrar :

Passo 8

Calculamos a diferença entre |x3 - x2| = |-2.5069 - (-2.7879)| = 0.2810 e :
Como , seguimos com mais iterações.

Passo 9

Repetimos o processo até que a diferença entre as iterações seja menor que . Continuando dessa forma, vamos ajustando até alcançar a tolerância desejada.

Resposta

Após várias iterações utilizando o Método de Newton, encontramos o valor aproximado de barx approx -3.1416 que satisfaz com a tolerância . O valor final aproximado é:

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