O resfriamento de um corpo quente até a temperatura ambiente segue, com boa aproximação, a cinética de primeira ordem. (Entretanto, nesse caso, a unidade que varia é Kelvin e não a molaridade. Isso é conhecido como lei do resfriamento, de Newton.) Se a constante de velocidade de resfriamento de um corpo é
, qual o tempo necessário para ele ir de 1000 K para 298 K ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o resfriamento de um corpo quente até a temperatura ambiente, seguindo a lei do resfriamento de Newton. A gente vai precisar entender essa lei e usar a constante de resfriamento que foi dada para calcular o tempo necessário para o corpo esfriar de 1000 K até 298 K.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a lei do resfriamento de Newton. Essa lei diz que a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula matemática dessa lei é:
Onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo . -
é a temperatura ambiente. -
é a temperatura inicial do objeto. -
é a constante de resfriamento. -
é a base dos logaritmos naturais.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- Temperatura inicial,
- Temperatura ambiente,
- Constante de resfriamento,
Queremos encontrar o tempo
necessário para que a temperatura do objeto chegue a
.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:
Passo 5
Vamos isolar a parte exponencial. Para isso, subtraímos 298 de ambos os lados:
Passo 6
Agora, dividimos ambos os lados por 702:
Passo 7
Observamos que a função exponencial
nunca chega exatamente a zero. Conforme
aumenta,
se aproxima cada vez mais de zero, mas nunca chega a zero.
Passo 8
Isso significa que, teoricamente, o corpo nunca alcançará exatamente a temperatura ambiente em um tempo finito. Ele ficará cada vez mais próximo de 298 K conforme o tempo passa, mas nunca chega exatamente lá.
Resposta
O tempo necessário para o corpo atingir exatamente 298 K é infinito. Na prática, ele se aproxima de 298 K à medida que o tempo aumenta, mas nunca chega exatamente a essa temperatura em um período finito.