O resfriamento de um corpo quente até a temperatura ambiente segue, com boa aproximação, a cinética de primeira ordem. (Entretanto, nesse caso, a unidade que varia é Kelvin e não a molaridade. Isso é conhecido como lei do resfriamento, de Newton.) Se a constante de velocidade de resfriamento de um corpo é , qual o tempo necessário para ele ir de 1000 K para 298 K ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o resfriamento de um corpo quente até a temperatura ambiente, seguindo a lei do resfriamento de Newton. A gente vai precisar entender essa lei e usar a constante de resfriamento que foi dada para calcular o tempo necessário para o corpo esfriar de 1000 K até 298 K.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a lei do resfriamento de Newton. Essa lei diz que a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula matemática dessa lei é:
Onde:
  • é a temperatura do objeto no tempo .
  • é a temperatura ambiente.
  • é a temperatura inicial do objeto.
  • é a constante de resfriamento.
  • é a base dos logaritmos naturais.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Temperatura inicial,
  • Temperatura ambiente,
  • Constante de resfriamento,
Queremos encontrar o tempo necessário para que a temperatura do objeto chegue a .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:

Passo 5

Vamos isolar a parte exponencial. Para isso, subtraímos 298 de ambos os lados:

Passo 6

Agora, dividimos ambos os lados por 702:

Passo 7

Observamos que a função exponencial nunca chega exatamente a zero. Conforme aumenta, se aproxima cada vez mais de zero, mas nunca chega a zero.

Passo 8

Isso significa que, teoricamente, o corpo nunca alcançará exatamente a temperatura ambiente em um tempo finito. Ele ficará cada vez mais próximo de 298 K conforme o tempo passa, mas nunca chega exatamente lá.

Resposta

O tempo necessário para o corpo atingir exatamente 298 K é infinito. Na prática, ele se aproxima de 298 K à medida que o tempo aumenta, mas nunca chega exatamente a essa temperatura em um período finito.

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