Um resíduo (poluente) apresenta uma taxa de decomposição k=0,1 d^-1 a 20^circ C. Quanto tempo levaria para decompor 90 % deste resíduo de concentração total igual a 1200 mg / L. A temperatura ambiente é de 30^circ C. A avaliação é realizada em um reator descontínuo perfeitamente agitado em escala de bancada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que está sendo pedido nessa questão. Temos um poluente que decompõe a uma taxa $ k = 0,1 , dia^{-1} $ a $ 20^{\circ} C $. Queremos descobrir quanto tempo leva para decompor $ 90% $ desse poluente quando a concentração inicial é $ 1200 , mg/L $ e a temperatura ambiente é $ 30^{\circ} C $. A avaliação está sendo feita em um reator descontínuo perfeitamente agitado em escala de bancada. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinética química, especificamente a cinética de primeira ordem, e considerar como a temperatura pode influenciar a taxa de decomposição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a cinética da reação. A taxa de decomposição $ k $ indica como rapidamente o poluente está se degradando no tempo. Como $ k = 0,1 , dia^{-1} $, isso significa que a reação segue uma cinética de primeira ordem. A equação que descreve a concentração do poluente ao longo do tempo para uma reação de primeira ordem é:
k
Onde:
  • $ C(t) $ é a concentração no tempo $ t $,
  • $ C_0 $ é a concentração inicial,
  • $ k $ é a constante de velocidade,
  • $ t $ é o tempo.

Passo 3

Queremos saber quanto tempo leva para decompor $ 90% $ do poluente. Isso significa que a concentração final $ C(t) $ será $ 10% $ da concentração inicial $ C_0 $. Então, temos:
90%
Substituindo na equação da cinética de primeira ordem:
C(t)
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ C_0 $:
10%

Passo 4

Para resolver para $ t $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
t
Isolando $ t $:
ln(0,10) = -kt
Substituindo os valores conhecidos ($ k = 0,1 , dia^{-1} $):
t
Calculando o logaritmo:
t = -ln(0,10)k
Então:
k = 0,1 , dia^-1

Passo 5

Agora, precisamos considerar a influência da temperatura na constante de velocidade $ k $. Normalmente, a constante de velocidade aumenta com o aumento da temperatura, e isso pode ser descrito pela Equação de Arrhenius:
k
Onde:
  • $ A $ é o fator pré-exponencial,
  • $ E_a $ é a energia de ativação,
  • $ R $ é a constante dos gases ($ 8,314 , J/mol·K $),
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin.
No entanto, na nossa questão, não temos o valor da energia de ativação $ E_a $, então não podemos ajustar diretamente a constante de velocidade para a nova temperatura de $ 30^{\circ} C $. Para simplificar, vamos assumir que a mudança de temperatura de $ 20^{\circ} C $ para $ 30^{\circ} C $ não altera significativamente a constante de velocidade $ k $. Essa é uma suposição comum quando não temos dados suficientes para aplicar a Equação de Arrhenius.

Passo 6

Com base nas suposições feitas, concluímos que o tempo necessário para decompor $ 90% $ do poluente é aproximadamente $ 23 $ dias.

Resposta

O tempo necessário para decompor $ 90% $ do poluente é de aproximadamente 23 dias.

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