Um resíduo (poluente) apresenta uma taxa de decomposição
a
. Quanto tempo levaria para decompor
deste resíduo de concentração total igual a
. A temperatura ambiente é de
. A avaliação é realizada em um reator descontínuo perfeitamente agitado em escala de bancada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que está sendo pedido nessa questão. Temos um poluente que decompõe a uma taxa $ k = 0,1 , dia^{-1} $ a $ 20^{\circ} C $. Queremos descobrir quanto tempo leva para decompor $ 90% $ desse poluente quando a concentração inicial é $ 1200 , mg/L $ e a temperatura ambiente é $ 30^{\circ} C $. A avaliação está sendo feita em um reator descontínuo perfeitamente agitado em escala de bancada. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinética química, especificamente a cinética de primeira ordem, e considerar como a temperatura pode influenciar a taxa de decomposição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a cinética da reação. A taxa de decomposição $ k $ indica como rapidamente o poluente está se degradando no tempo. Como $ k = 0,1 , dia^{-1} $, isso significa que a reação segue uma cinética de primeira ordem. A equação que descreve a concentração do poluente ao longo do tempo para uma reação de primeira ordem é:
Onde:
- $ C(t) $ é a concentração no tempo $ t $,
- $ C_0 $ é a concentração inicial,
- $ k $ é a constante de velocidade,
- $ t $ é o tempo.
Passo 3
Queremos saber quanto tempo leva para decompor $ 90% $ do poluente. Isso significa que a concentração final $ C(t) $ será $ 10% $ da concentração inicial $ C_0 $. Então, temos:
Substituindo na equação da cinética de primeira ordem:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ C_0 $:
Passo 4
Para resolver para $ t $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Isolando $ t $:
Substituindo os valores conhecidos ($ k = 0,1 , dia^{-1} $):
Calculando o logaritmo:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos considerar a influência da temperatura na constante de velocidade $ k $. Normalmente, a constante de velocidade aumenta com o aumento da temperatura, e isso pode ser descrito pela Equação de Arrhenius:
Onde:
- $ A $ é o fator pré-exponencial,
- $ E_a $ é a energia de ativação,
- $ R $ é a constante dos gases ($ 8,314 , J/mol·K $),
- $ T $ é a temperatura em Kelvin.
No entanto, na nossa questão, não temos o valor da energia de ativação $ E_a $, então não podemos ajustar diretamente a constante de velocidade para a nova temperatura de $ 30^{\circ} C $. Para simplificar, vamos assumir que a mudança de temperatura de $ 20^{\circ} C $ para $ 30^{\circ} C $ não altera significativamente a constante de velocidade $ k $. Essa é uma suposição comum quando não temos dados suficientes para aplicar a Equação de Arrhenius.
Passo 6
Com base nas suposições feitas, concluímos que o tempo necessário para decompor $ 90% $ do poluente é aproximadamente $ 23 $ dias.
Resposta
O tempo necessário para decompor $ 90% $ do poluente é de aproximadamente 23 dias.