Use o método da bisecção para encontrar um zero para cada função a seguir, com a precisão dada.
  • f(x)=sen(x), x in(-pi / 2,3 pi / 4), epsilon=10^-2;

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício onde precisamos encontrar um zero da função usando o método da bisecção. A gente vai trabalhar no intervalo e queremos que a resposta tenha uma precisão de . Para isso, vamos precisar entender como o método da bisecção funciona e aplicar passo a passo para chegar ao zero da função dentro do intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bisecção. É um método simples para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir o intervalo em duas partes e escolher a subintervalo onde a função muda de sinal, repetindo até atingir a precisão desejada.

Passo 3

Vamos começar verificando os valores da função nas extremidades do intervalo:
f(-pi2) = sin(-pi2) = -1
f(3pi4) = sin(3pi4) = raiz22 approx 0.7071
Como é negativo e é positivo, sabemos que existe pelo menos um zero no intervalo, graças ao Teorema do Valor Intermediário.

Passo 4

Agora, vamos calcular o ponto médio do intervalo inicial:
c = a + b2 = -pi2 + 3pi42 = -2pi + 3pi42 = pi8 approx 0.3927
Vamos avaliar a função nesse ponto:
f(c) = sin(pi8) approx 0.3827
Como é positivo e é negativo, o zero está no intervalo .

Passo 5

Vamos repetir o processo no novo intervalo c = -pi2 + pi82 = -4pi + pi16 = -3pi16 approx -0.5890 . Calculamos o novo ponto médio:
f(c) = sin(-3pi16) approx -0.5556
Avaliando a função:
Agora, é negativo, igual ao , então o zero está no intervalo .

Passo 6

Continuando, calculamos o ponto médio do intervalo c = -3pi16 + pi82 = -3pi + 2pi32 = -pi32 approx -0.0982 :
f(c) = sin(-pi32) approx -0.0980
Avaliando a função:
Como é negativo, o zero está agora no intervalo .

Passo 7

Calculamos o ponto médio novamente:
c = -pi32 + pi82 = -pi + 4pi64 = 3pi64 approx 0.1473
Avaliando a função:
f(c) = sin(3pi64) approx 0.1467
Como é positivo, o zero está no intervalo .

Passo 8

Calculando mais um ponto médio para alcançar a precisão desejada:
c = -pi32 + 3pi642 = -2pi + 3pi128 = pi128 approx 0.0245
Avaliando a função:
f(c) = sin(pi128) approx 0.0245
Como é positivo e a precisão já foi alcançada, podemos parar por aqui.

Resposta

O zero da função no intervalo com precisão de é aproximadamente .

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