Use o método de integração por partes para calcular as integrais indefinidas abaixo:
(b) I=integral e^3 x sin (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral u , dv = uv - integral v , du usando o método de integração por partes. Esse método é útil quando a integral é um produto de duas funções, como aqui temos e . Vamos precisar lembrar a fórmula da integração por partes:

Passo 2

Primeiro, vamos escolher quais partes do nosso integrando serão u = e^3x e dv = sin(2x) , dx e . Aqui, vou escolher:
Isso porque ao derivar , a função continua simples, e ao integrar , a gente obtém algo que também é fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx e^3x , dx = 3 e^3x , dx e v = integral sin(2x) , dx = -12 cos(2x) :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
I = uv - integral v , du
I = e^3x ( -12 cos(2x) ) - integral ( -12 cos(2x) ) cdot 3 e^3x , dx
I = -12 e^3x cos(2x) + 32 integral e^3x cos(2x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral u = e^3x e dv = cos(2x) , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes:
Escolha:
du = 3 e^3x , dx
Calculando v = integral cos(2x) , dx = 12 sin(2x) e integral e^3x cos(2x) , dx = e^3x cdot 12 sin(2x) - integral 12 sin(2x) cdot 3 e^3x , dx :
= 12 e^3x sin(2x) - 32 integral e^3x sin(2x) , dx
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Vamos substituir essa expressão de volta na equação anterior:
I = -12 e^3x cos(2x) + 32 ( 12 e^3x sin(2x) - 32 integral e^3x sin(2x) , dx )
I = -12 e^3x cos(2x) + 34 e^3x sin(2x) - 94 I
Agora, vamos isolar I + 94 I = -12 e^3x cos(2x) + 34 e^3x sin(2x) :
134 I = -12 e^3x cos(2x) + 34 e^3x sin(2x)
I = ( -12 e^3x cos(2x) + 34 e^3x sin(2x) ) cdot 413
I = e^3x13 ( -2 cos(2x) + 3 sin(2x) )

Resposta

A integral é:
integral e^3x sin(2x) , dx = e^3x13 ( 3 sin(2x) - 2 cos(2x) ) + C
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados