Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares:
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a eliminação de Gauss. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos transformar o sistema em uma matriz aumentada e aplicar operações para simplificá-la até encontrar as soluções. Vamos precisar de conhecimentos básicos de álgebra linear, como manipulação de matrizes e operações com linhas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Cada equação corresponde a uma linha da matriz, e os coeficientes das variáveis formam as colunas, com a última coluna representando os termos constantes.
Nosso próximo passo é criar zeros abaixo do primeiro coeficiente R2 = R2 - 4R1 na primeira coluna. Para isso, vamos usar operações com as linhas da matriz.
Primeiro, subtraímos 4 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o 1 & 2 & 1 & | & 0 0 & 2 & 6 & | & 0 1 & 3 & 4 & | & 0 na posição :
Passo 4
Agora, vamos eliminar o R3 = R3 - R1 na posição 1 & 2 & 1 & | & 0 0 & 2 & 6 & | & 0 0 & 1 & 3 & | & 0 subtraindo a primeira linha da terceira linha:
Passo 5
Vamos agora trabalhar com a segunda coluna. Queremos criar um zero abaixo do R3 = R3 - (12)R2 na posição 1 & 2 & 1 & | & 0 0 & 2 & 6 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0 . Para isso, subtraímos metade da segunda linha da terceira linha:
Passo 6
Agora que a matriz está na forma escalonada, podemos escrever as equações correspondentes:
x + 2y + z = 0 2y + 6z = 0 0 = 0
A última equação não traz nova informação, então focamos nas duas primeiras.
Passo 7
Vamos resolver a segunda equação para 2y + 6z = 0 Rightarrow y = -3z :
Aqui, escolhemos como parâmetro livre, já que não há restrições para ele.
Passo 8
Agora, substituímos x + 2(-3z) + z = 0 x - 6z + z = 0 x - 5z = 0 Rightarrow x = 5z na primeira equação para encontrar :
Passo 9
Então, temos que:
x = 5z y = -3z z = z (onde z é qualquer número real) éú
Resposta
As soluções do sistema são todos os triples (x, y, z) = (5z, -3z, z), onde z in R que podem ser escritos em função de :